Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15098 / 10042
↖ ↑ ↗
← N 56.980912°
W 14.128418°		 ← 665.69 m → N 56.980912°
W 14.117431°		 →
↑
665.77 m
↓
↑
665.77 m
↓
N 56.974924°
W 14.128418°		 ← 665.80 m →
443 234 m²		 N 56.974924°
W 14.117431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460769653320312 y=0.306472778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460769653320312 × 215)
    floor (0.460769653320312 × 32768)
    floor (15098.5)     		tx = 15098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306472778320312 × 215)
    floor (0.306472778320312 × 32768)
    floor (10042.5)     		ty = 10042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15098 / 10042 ti = "15/15098/10042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15098/10042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15098 ÷ 215
    15098 ÷ 32768     		x = 0.46075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10042 ÷ 215
    10042 ÷ 32768     		y = 0.30645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46075439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24658741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30645751953125 × 2 - 1) × π
    0.3870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21606326956158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24658741} λ = -0.24658741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21606326956158))-π/2
    2×atan(3.37387950121896)-π/2
    2×1.28265042096076-π/2
    2.56530084192152-1.57079632675     		φ = 0.99450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24658741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.128418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.980912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15098 KachelY 10042 -0.24658741 0.99450452 -14.128418 56.980912
    Oben rechts KachelX + 1 15099 KachelY 10042 -0.24639566 0.99450452 -14.117431 56.980912
    Unten links KachelX 15098 KachelY + 1 10043 -0.24658741 0.99440002 -14.128418 56.974924
    Unten rechts KachelX + 1 15099 KachelY + 1 10043 -0.24639566 0.99440002 -14.117431 56.974924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99450452-0.99440002) × R
    0.000104499999999952 × 6371000     		dl = 665.769499999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99450452-0.99440002) × R
    0.000104499999999952 × 6371000     		dr = 665.769499999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24658741--0.24639566) × cos(0.99450452) × R
    0.000191750000000018 × 0.54491841093451 × 6371000     		do = 665.69371884529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24658741--0.24639566) × cos(0.99440002) × R
    0.000191750000000018 × 0.545006030067149 × 6371000     		du = 665.800757816773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99450452)-sin(0.99440002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54491841093451-0.545006030067149)×R²
    abs(-0.24639566--0.24658741)×8.76191326391051e-05×R²
    0.000191750000000018×8.76191326391051e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.76191326391051e-05×40589641000000     		ar = 443234.206393292m²