Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15097 / 11032
↖ ↑ ↗
← N 75.812893°
W 97.069702°		 ← 149.71 m → N 75.812893°
W 97.064209°		 →
↑
149.72 m
↓
↑
149.72 m
↓
N 75.811547°
W 97.069702°		 ← 149.73 m →
22 416 m²		 N 75.811547°
W 97.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230369567871094 y=0.168342590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230369567871094 × 216)
    floor (0.230369567871094 × 65536)
    floor (15097.5)     		tx = 15097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168342590332031 × 216)
    floor (0.168342590332031 × 65536)
    floor (11032.5)     		ty = 11032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15097 / 11032 ti = "16/15097/11032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15097/11032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15097 ÷ 216
    15097 ÷ 65536     		x = 0.230361938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11032 ÷ 216
    11032 ÷ 65536     		y = 0.1683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230361938476562 × 2 - 1) × π
    -0.539276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69418591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1683349609375 × 2 - 1) × π
    0.663330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08391290028308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69418591} λ = -1.69418591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08391290028308))-π/2
    2×atan(8.03585096034514)-π/2
    2×1.44699046243253-π/2
    2.89398092486507-1.57079632675     		φ = 1.32318460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69418591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.069702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32318460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.812893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15097 KachelY 11032 -1.69418591 1.32318460 -97.069702 75.812893
    Oben rechts KachelX + 1 15098 KachelY 11032 -1.69409003 1.32318460 -97.064209 75.812893
    Unten links KachelX 15097 KachelY + 1 11033 -1.69418591 1.32316110 -97.069702 75.811547
    Unten rechts KachelX + 1 15098 KachelY + 1 11033 -1.69409003 1.32316110 -97.064209 75.811547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32318460-1.32316110) × R
    2.34999999999541e-05 × 6371000     		dl = 149.718499999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32318460-1.32316110) × R
    2.34999999999541e-05 × 6371000     		dr = 149.718499999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69418591--1.69409003) × cos(1.32318460) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.245089228302404 × 6371000     		do = 149.71311784083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69418591--1.69409003) × cos(1.32316110) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.245112011497091 × 6371000     		du = 149.727034989024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32318460)-sin(1.32316110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245089228302404-0.245112011497091)×R²
    abs(-1.69409003--1.69418591)×2.27831946867096e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.27831946867096e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.27831946867096e-05×40589641000000     		ar = 22415.8652615523m²