Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15096 / 9990
↖ ↑ ↗
← N 57.290918°
W 14.150391°		 ← 660.14 m → N 57.290918°
W 14.139404°		 →
↑
660.16 m
↓
↑
660.16 m
↓
N 57.284981°
W 14.150391°		 ← 660.25 m →
435 836 m²		 N 57.284981°
W 14.139404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460708618164062 y=0.304885864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460708618164062 × 215)
    floor (0.460708618164062 × 32768)
    floor (15096.5)     		tx = 15096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304885864257812 × 215)
    floor (0.304885864257812 × 32768)
    floor (9990.5)     		ty = 9990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15096 / 9990 ti = "15/15096/9990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15096/9990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15096 ÷ 215
    15096 ÷ 32768     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9990 ÷ 215
    9990 ÷ 32768     		y = 0.30487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30487060546875 × 2 - 1) × π
    0.3902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22603414468256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22603414468256))-π/2
    2×atan(3.40768830397312)-π/2
    2×1.28535573978555-π/2
    2.5707114795711-1.57079632675     		φ = 0.99991515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99991515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.290918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15096 KachelY 9990 -0.24697091 0.99991515 -14.150391 57.290918
    Oben rechts KachelX + 1 15097 KachelY 9990 -0.24677916 0.99991515 -14.139404 57.290918
    Unten links KachelX 15096 KachelY + 1 9991 -0.24697091 0.99981153 -14.150391 57.284981
    Unten rechts KachelX + 1 15097 KachelY + 1 9991 -0.24677916 0.99981153 -14.139404 57.284981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99991515-0.99981153) × R
    0.000103619999999971 × 6371000     		dl = 660.163019999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99991515-0.99981153) × R
    0.000103619999999971 × 6371000     		dr = 660.163019999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24677916) × cos(0.99991515) × R
    0.000191749999999991 × 0.540373702736156 × 6371000     		do = 660.141724930288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24677916) × cos(0.99981153) × R
    0.000191749999999991 × 0.540460888307684 × 6371000     		du = 660.248234246501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99991515)-sin(0.99981153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540373702736156-0.540460888307684)×R²
    abs(-0.24677916--0.24697091)×8.71855715287584e-05×R²
    0.000191749999999991×8.71855715287584e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.71855715287584e-05×40589641000000     		ar = 435836.311904522m²