Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15094 / 3618
↖ ↑ ↗
← N 70.363091°
E151.655273°		 ← 821.06 m → N 70.363091°
E151.677246°		 →
↑
821.22 m
↓
↑
821.22 m
↓
N 70.355706°
E151.655273°		 ← 821.36 m →
674 397 m²		 N 70.355706°
E151.677246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921295166015625 y=0.220855712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921295166015625 × 214)
    floor (0.921295166015625 × 16384)
    floor (15094.5)     		tx = 15094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220855712890625 × 214)
    floor (0.220855712890625 × 16384)
    floor (3618.5)     		ty = 3618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15094 / 3618 ti = "14/15094/3618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15094/3618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15094 ÷ 214
    15094 ÷ 16384     		x = 0.9212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3618 ÷ 214
    3618 ÷ 16384     		y = 0.2208251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9212646484375 × 2 - 1) × π
    0.842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.64688385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2208251953125 × 2 - 1) × π
    0.558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75410703089709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64688385} λ = 2.64688385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75410703089709))-π/2
    2×atan(5.77828560697148)-π/2
    2×1.39943196904263-π/2
    2.79886393808526-1.57079632675     		φ = 1.22806761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64688385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.655273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22806761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.363091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15094 KachelY 3618 2.64688385 1.22806761 151.655273 70.363091
    Oben rechts KachelX + 1 15095 KachelY 3618 2.64726734 1.22806761 151.677246 70.363091
    Unten links KachelX 15094 KachelY + 1 3619 2.64688385 1.22793871 151.655273 70.355706
    Unten rechts KachelX + 1 15095 KachelY + 1 3619 2.64726734 1.22793871 151.677246 70.355706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22806761-1.22793871) × R
    0.000128899999999987 × 6371000     		dl = 821.22189999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22806761-1.22793871) × R
    0.000128899999999987 × 6371000     		dr = 821.22189999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64688385-2.64726734) × cos(1.22806761) × R
    0.000383489999999931 × 0.336058357883446 × 6371000     		do = 821.0627502838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64688385-2.64726734) × cos(1.22793871) × R
    0.000383489999999931 × 0.336179758417439 × 6371000     		du = 821.359357863965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22806761)-sin(1.22793871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336058357883446-0.336179758417439)×R²
    abs(2.64726734-2.64688385)×0.000121400533992733×R²
    0.000383489999999931×0.000121400533992733×6371000²
    0.000383489999999931×0.000121400533992733×40589641000000     		ar = 674396.503060903m²