Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15093 / 9957
↖ ↑ ↗
← N 57.486309°
W 14.183350°		 ← 656.63 m → N 57.486309°
W 14.172363°		 →
↑
656.72 m
↓
↑
656.72 m
↓
N 57.480403°
W 14.183350°		 ← 656.74 m →
431 260 m²		 N 57.480403°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460617065429688 y=0.303878784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460617065429688 × 215)
    floor (0.460617065429688 × 32768)
    floor (15093.5)     		tx = 15093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303878784179688 × 215)
    floor (0.303878784179688 × 32768)
    floor (9957.5)     		ty = 9957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15093 / 9957 ti = "15/15093/9957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15093/9957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15093 ÷ 215
    15093 ÷ 32768     		x = 0.460601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9957 ÷ 215
    9957 ÷ 32768     		y = 0.303863525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.07879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24754615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303863525390625 × 2 - 1) × π
    0.39227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2323618154324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24754615} λ = -0.24754615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2323618154324))-π/2
    2×atan(3.42931939862658)-π/2
    2×1.2870608466512-π/2
    2.57412169330239-1.57079632675     		φ = 1.00332537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24754615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00332537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.486309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15093 KachelY 9957 -0.24754615 1.00332537 -14.183350 57.486309
    Oben rechts KachelX + 1 15094 KachelY 9957 -0.24735440 1.00332537 -14.172363 57.486309
    Unten links KachelX 15093 KachelY + 1 9958 -0.24754615 1.00322229 -14.183350 57.480403
    Unten rechts KachelX + 1 15094 KachelY + 1 9958 -0.24735440 1.00322229 -14.172363 57.480403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00332537-1.00322229) × R
    0.000103079999999922 × 6371000     		dl = 656.722679999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00332537-1.00322229) × R
    0.000103079999999922 × 6371000     		dr = 656.722679999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24754615--0.24735440) × cos(1.00332537) × R
    0.000191749999999991 × 0.537501121304682 × 6371000     		do = 656.632466704778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24754615--0.24735440) × cos(1.00322229) × R
    0.000191749999999991 × 0.537588042002472 × 6371000     		du = 656.738652440837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00332537)-sin(1.00322229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537501121304682-0.537588042002472)×R²
    abs(-0.24735440--0.24754615)×8.69206977904824e-05×R²
    0.000191749999999991×8.69206977904824e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.69206977904824e-05×40589641000000     		ar = 431260.300980831m²