Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15093 / 21005
↖ ↑ ↗
← S 45.189780°
W 14.183350°		 ← 860.96 m → S 45.189780°
W 14.172363°		 →
↑
860.91 m
↓
↑
860.91 m
↓
S 45.197522°
W 14.183350°		 ← 860.85 m →
741 164 m²		 S 45.197522°
W 14.172363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460617065429688 y=0.641036987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460617065429688 × 215)
    floor (0.460617065429688 × 32768)
    floor (15093.5)     		tx = 15093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641036987304688 × 215)
    floor (0.641036987304688 × 32768)
    floor (21005.5)     		ty = 21005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15093 / 21005 ti = "15/15093/21005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15093/21005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15093 ÷ 215
    15093 ÷ 32768     		x = 0.460601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21005 ÷ 215
    21005 ÷ 32768     		y = 0.641021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460601806640625 × 2 - 1) × π
    -0.07879638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24754615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.28204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.886065652577118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24754615} λ = -0.24754615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886065652577118))-π/2
    2×atan(0.41227459761575)-π/2
    2×0.39104293793678-π/2
    0.78208587587356-1.57079632675     		φ = -0.78871045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24754615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.183350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78871045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.189780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15093 KachelY 21005 -0.24754615 -0.78871045 -14.183350 -45.189780
    Oben rechts KachelX + 1 15094 KachelY 21005 -0.24735440 -0.78871045 -14.172363 -45.189780
    Unten links KachelX 15093 KachelY + 1 21006 -0.24754615 -0.78884558 -14.183350 -45.197522
    Unten rechts KachelX + 1 15094 KachelY + 1 21006 -0.24735440 -0.78884558 -14.172363 -45.197522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78871045--0.78884558) × R
    0.000135130000000094 × 6371000     		dl = 860.913230000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78871045--0.78884558) × R
    0.000135130000000094 × 6371000     		dr = 860.913230000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24754615--0.24735440) × cos(-0.78871045) × R
    0.000191749999999991 × 0.704760766234894 × 6371000     		do = 860.963413892579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24754615--0.24735440) × cos(-0.78884558) × R
    0.000191749999999991 × 0.704664892492653 × 6371000     		du = 860.846290766012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78871045)-sin(-0.78884558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704760766234894-0.704664892492653)×R²
    abs(-0.24735440--0.24754615)×9.58737422415146e-05×R²
    0.000191749999999991×9.58737422415146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.58737422415146e-05×40589641000000     		ar = 741164.37826975m²