Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15092 / 9958
↖ ↑ ↗
← N 57.480403°
W 14.194336°		 ← 656.74 m → N 57.480403°
W 14.183350°		 →
↑
656.79 m
↓
↑
656.79 m
↓
N 57.474497°
W 14.194336°		 ← 656.84 m →
431 372 m²		 N 57.474497°
W 14.183350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460586547851562 y=0.303909301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460586547851562 × 215)
    floor (0.460586547851562 × 32768)
    floor (15092.5)     		tx = 15092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303909301757812 × 215)
    floor (0.303909301757812 × 32768)
    floor (9958.5)     		ty = 9958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15092 / 9958 ti = "15/15092/9958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15092/9958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15092 ÷ 215
    15092 ÷ 32768     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9958 ÷ 215
    9958 ÷ 32768     		y = 0.30389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30389404296875 × 2 - 1) × π
    0.3922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23217006783392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23217006783392))-π/2
    2×atan(3.42866189790658)-π/2
    2×1.28700931020996-π/2
    2.57401862041993-1.57079632675     		φ = 1.00322229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00322229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.480403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15092 KachelY 9958 -0.24773790 1.00322229 -14.194336 57.480403
    Oben rechts KachelX + 1 15093 KachelY 9958 -0.24754615 1.00322229 -14.183350 57.480403
    Unten links KachelX 15092 KachelY + 1 9959 -0.24773790 1.00311920 -14.194336 57.474497
    Unten rechts KachelX + 1 15093 KachelY + 1 9959 -0.24754615 1.00311920 -14.183350 57.474497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00322229-1.00311920) × R
    0.000103090000000083 × 6371000     		dl = 656.786390000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00322229-1.00311920) × R
    0.000103090000000083 × 6371000     		dr = 656.786390000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24754615) × cos(1.00322229) × R
    0.000191750000000018 × 0.537588042002472 × 6371000     		do = 656.738652440932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24754615) × cos(1.00311920) × R
    0.000191750000000018 × 0.537674965419651 × 6371000     		du = 656.844841499101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00322229)-sin(1.00311920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537588042002472-0.537674965419651)×R²
    abs(-0.24754615--0.24773790)×8.69234171783084e-05×R²
    0.000191750000000018×8.69234171783084e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.69234171783084e-05×40589641000000     		ar = 431371.88085705m²