Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15092 / 3676
↖ ↑ ↗
← N 69.930300°
E151.611328°		 ← 838.42 m → N 69.930300°
E151.633301°		 →
↑
838.61 m
↓
↑
838.61 m
↓
N 69.922759°
E151.611328°		 ← 838.72 m →
703 239 m²		 N 69.922759°
E151.633301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.921173095703125 y=0.224395751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.921173095703125 × 214)
    floor (0.921173095703125 × 16384)
    floor (15092.5)     		tx = 15092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224395751953125 × 214)
    floor (0.224395751953125 × 16384)
    floor (3676.5)     		ty = 3676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15092 / 3676 ti = "14/15092/3676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15092/3676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15092 ÷ 214
    15092 ÷ 16384     		x = 0.921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3676 ÷ 214
    3676 ÷ 16384     		y = 0.224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.921142578125 × 2 - 1) × π
    0.84228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.64611686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224365234375 × 2 - 1) × π
    0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64611686} λ = 2.64611686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73186430947339))-π/2
    2×atan(5.65117964150921)-π/2
    2×1.39565515588007-π/2
    2.79131031176013-1.57079632675     		φ = 1.22051399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64611686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22051399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15092 KachelY 3676 2.64611686 1.22051399 151.611328 69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 15093 KachelY 3676 2.64650035 1.22051399 151.633301 69.930300
    Unten links KachelX 15092 KachelY + 1 3677 2.64611686 1.22038236 151.611328 69.922759
    Unten rechts KachelX + 1 15093 KachelY + 1 3677 2.64650035 1.22038236 151.633301 69.922759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22051399-1.22038236) × R
    0.000131629999999827 × 6371000     		dl = 838.614729998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22051399-1.22038236) × R
    0.000131629999999827 × 6371000     		dr = 838.614729998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64611686-2.64650035) × cos(1.22051399) × R
    0.000383490000000375 × 0.343163013265997 × 6371000     		do = 838.420949393271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64611686-2.64650035) × cos(1.22038236) × R
    0.000383490000000375 × 0.343286647174553 × 6371000     		du = 838.7230135872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22051399)-sin(1.22038236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163013265997-0.343286647174553)×R²
    abs(2.64650035-2.64611686)×0.000123633908555743×R²
    0.000383490000000375×0.000123633908555743×6371000²
    0.000383490000000375×0.000123633908555743×40589641000000     		ar = 703238.816857547m²