Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15092 / 10044
↖ ↑ ↗
← N 56.968936°
W 14.194336°		 ← 665.91 m → N 56.968936°
W 14.183350°		 →
↑
665.96 m
↓
↑
665.96 m
↓
N 56.962947°
W 14.194336°		 ← 666.01 m →
443 504 m²		 N 56.962947°
W 14.183350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460586547851562 y=0.306533813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460586547851562 × 215)
    floor (0.460586547851562 × 32768)
    floor (15092.5)     		tx = 15092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306533813476562 × 215)
    floor (0.306533813476562 × 32768)
    floor (10044.5)     		ty = 10044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15092 / 10044 ti = "15/15092/10044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15092/10044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15092 ÷ 215
    15092 ÷ 32768     		x = 0.4605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10044 ÷ 215
    10044 ÷ 32768     		y = 0.3065185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24773790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3065185546875 × 2 - 1) × π
    0.386962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21567977436462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24773790} λ = -0.24773790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21567977436462))-π/2
    2×atan(3.37258588269922)-π/2
    2×1.28254591736306-π/2
    2.56509183472613-1.57079632675     		φ = 0.99429551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24773790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.194336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99429551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.968936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15092 KachelY 10044 -0.24773790 0.99429551 -14.194336 56.968936
    Oben rechts KachelX + 1 15093 KachelY 10044 -0.24754615 0.99429551 -14.183350 56.968936
    Unten links KachelX 15092 KachelY + 1 10045 -0.24773790 0.99419098 -14.194336 56.962947
    Unten rechts KachelX + 1 15093 KachelY + 1 10045 -0.24754615 0.99419098 -14.183350 56.962947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99429551-0.99419098) × R
    0.000104530000000103 × 6371000     		dl = 665.960630000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99429551-0.99419098) × R
    0.000104530000000103 × 6371000     		dr = 665.960630000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24773790--0.24754615) × cos(0.99429551) × R
    0.000191750000000018 × 0.545093651631938 × 6371000     		do = 665.907799759466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24773790--0.24754615) × cos(0.99419098) × R
    0.000191750000000018 × 0.545181284009392 × 6371000     		du = 666.014854911335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99429551)-sin(0.99419098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545093651631938-0.545181284009392)×R²
    abs(-0.24754615--0.24773790)×8.76323774541277e-05×R²
    0.000191750000000018×8.76323774541277e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.76323774541277e-05×40589641000000     		ar = 443504.025512427m²