Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15091 / 9956
↖ ↑ ↗
← N 57.492214°
W 14.205322°		 ← 656.49 m → N 57.492214°
W 14.194336°		 →
↑
656.53 m
↓
↑
656.53 m
↓
N 57.486309°
W 14.205322°		 ← 656.60 m →
431 043 m²		 N 57.486309°
W 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460556030273438 y=0.303848266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460556030273438 × 215)
    floor (0.460556030273438 × 32768)
    floor (15091.5)     		tx = 15091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303848266601562 × 215)
    floor (0.303848266601562 × 32768)
    floor (9956.5)     		ty = 9956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15091 / 9956 ti = "15/15091/9956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15091/9956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15091 ÷ 215
    15091 ÷ 32768     		x = 0.460540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9956 ÷ 215
    9956 ÷ 32768     		y = 0.3038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.07891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24792964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3038330078125 × 2 - 1) × π
    0.392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23255356303088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24792964} λ = -0.24792964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23255356303088))-π/2
    2×atan(3.42997702543285)-π/2
    2×1.28711237475999-π/2
    2.57422474951997-1.57079632675     		φ = 1.00342842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24792964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00342842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.492214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15091 KachelY 9956 -0.24792964 1.00342842 -14.205322 57.492214
    Oben rechts KachelX + 1 15092 KachelY 9956 -0.24773790 1.00342842 -14.194336 57.492214
    Unten links KachelX 15091 KachelY + 1 9957 -0.24792964 1.00332537 -14.205322 57.486309
    Unten rechts KachelX + 1 15092 KachelY + 1 9957 -0.24773790 1.00332537 -14.194336 57.486309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00342842-1.00332537) × R
    0.000103050000000104 × 6371000     		dl = 656.531550000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00342842-1.00332537) × R
    0.000103050000000104 × 6371000     		dr = 656.531550000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24792964--0.24773790) × cos(1.00342842) × R
    0.000191739999999996 × 0.537414220195233 × 6371000     		do = 656.492066238657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24792964--0.24773790) × cos(1.00332537) × R
    0.000191739999999996 × 0.537501121304682 × 6371000     		du = 656.598222508358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00342842)-sin(1.00332537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537414220195233-0.537501121304682)×R²
    abs(-0.24773790--0.24792964)×8.6901109448756e-05×R²
    0.000191739999999996×8.6901109448756e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.6901109448756e-05×40589641000000     		ar = 431042.601663063m²