Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15091 / 7539
↖ ↑ ↗
← N 69.213303°
W 14.205322°		 ← 433.52 m → N 69.213303°
W 14.194336°		 →
↑
433.61 m
↓
↑
433.61 m
↓
N 69.209404°
W 14.205322°		 ← 433.60 m →
187 998 m²		 N 69.209404°
W 14.194336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460556030273438 y=0.230087280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460556030273438 × 215)
    floor (0.460556030273438 × 32768)
    floor (15091.5)     		tx = 15091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230087280273438 × 215)
    floor (0.230087280273438 × 32768)
    floor (7539.5)     		ty = 7539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15091 / 7539 ti = "15/15091/7539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15091/7539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15091 ÷ 215
    15091 ÷ 32768     		x = 0.460540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7539 ÷ 215
    7539 ÷ 32768     		y = 0.230072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.07891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24792964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230072021484375 × 2 - 1) × π
    0.53985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69600750855759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24792964} λ = -0.24792964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69600750855759))-π/2
    2×atan(5.45213627293448)-π/2
    2×1.38939817679646-π/2
    2.77879635359293-1.57079632675     		φ = 1.20800003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24792964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.205322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20800003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.213303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15091 KachelY 7539 -0.24792964 1.20800003 -14.205322 69.213303
    Oben rechts KachelX + 1 15092 KachelY 7539 -0.24773790 1.20800003 -14.194336 69.213303
    Unten links KachelX 15091 KachelY + 1 7540 -0.24792964 1.20793197 -14.205322 69.209404
    Unten rechts KachelX + 1 15092 KachelY + 1 7540 -0.24773790 1.20793197 -14.194336 69.209404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20800003-1.20793197) × R
    6.80600000000364e-05 × 6371000     		dl = 433.610260000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20800003-1.20793197) × R
    6.80600000000364e-05 × 6371000     		dr = 433.610260000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24792964--0.24773790) × cos(1.20800003) × R
    0.000191739999999996 × 0.354889897889139 × 6371000     		do = 433.524818654461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24792964--0.24773790) × cos(1.20793197) × R
    0.000191739999999996 × 0.354953526912602 × 6371000     		du = 433.602546313156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20800003)-sin(1.20793197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354889897889139-0.354953526912602)×R²
    abs(-0.24773790--0.24792964)×6.36290234623527e-05×R²
    0.000191739999999996×6.36290234623527e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.36290234623527e-05×40589641000000     		ar = 187997.661160817m²