Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1509 / 1824
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W 47.373047°		 ← 9 223.13 m → N 19.311143°
W 47.285156°		 →
↑
9 225.46 m
↓
↑
9 225.46 m
↓
N 19.228177°
W 47.373047°		 ← 9 227.80 m →
85 109 161 m²		 N 19.228177°
W 47.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3685302734375 y=0.4454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3685302734375 × 212)
    floor (0.3685302734375 × 4096)
    floor (1509.5)     		tx = 1509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4454345703125 × 212)
    floor (0.4454345703125 × 4096)
    floor (1824.5)     		ty = 1824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1509 / 1824 ti = "12/1509/1824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1509/1824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1509 ÷ 212
    1509 ÷ 4096     		x = 0.368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1824 ÷ 212
    1824 ÷ 4096     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82681564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82681564} λ = -0.82681564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82681564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.373047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1509 KachelY 1824 -0.82681564 0.33704303 -47.373047 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 1510 KachelY 1824 -0.82528166 0.33704303 -47.285156 19.311143
    Unten links KachelX 1509 KachelY + 1 1825 -0.82681564 0.33559499 -47.373047 19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 1510 KachelY + 1 1825 -0.82528166 0.33559499 -47.285156 19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33559499) × R
    0.00144804000000004 × 6371000     		dl = 9225.46284000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33559499) × R
    0.00144804000000004 × 6371000     		dr = 9225.46284000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82681564--0.82528166) × cos(0.33704303) × R
    0.00153397999999993 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 9223.12565315488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82681564--0.82528166) × cos(0.33559499) × R
    0.00153397999999993 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 9227.79591184985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.944214528108996)×R²
    abs(-0.82528166--0.82681564)×0.000477874256425315×R²
    0.00153397999999993×0.000477874256425315×6371000²
    0.00153397999999993×0.000477874256425315×40589641000000     		ar = 85109160.5024031m²