Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1509 / 1695
↖ ↑ ↗
← N 29.611670°
W 47.373047°		 ← 8 496.58 m → N 29.611670°
W 47.285156°		 →
↑
8 499.81 m
↓
↑
8 499.81 m
↓
N 29.535229°
W 47.373047°		 ← 8 503.01 m →
72 246 631 m²		 N 29.535229°
W 47.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3685302734375 y=0.4139404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3685302734375 × 212)
    floor (0.3685302734375 × 4096)
    floor (1509.5)     		tx = 1509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4139404296875 × 212)
    floor (0.4139404296875 × 4096)
    floor (1695.5)     		ty = 1695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1509 / 1695 ti = "12/1509/1695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1509/1695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1509 ÷ 212
    1509 ÷ 4096     		x = 0.368408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1695 ÷ 212
    1695 ÷ 4096     		y = 0.413818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.26318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82681564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    0.17236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.541495218108154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82681564} λ = -0.82681564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541495218108154))-π/2
    2×atan(1.71857458589402)-π/2
    2×1.04380873365302-π/2
    2.08761746730604-1.57079632675     		φ = 0.51682114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82681564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.373047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51682114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.611670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1509 KachelY 1695 -0.82681564 0.51682114 -47.373047 29.611670
    Oben rechts KachelX + 1 1510 KachelY 1695 -0.82528166 0.51682114 -47.285156 29.611670
    Unten links KachelX 1509 KachelY + 1 1696 -0.82681564 0.51548700 -47.373047 29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 1510 KachelY + 1 1696 -0.82528166 0.51548700 -47.285156 29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51682114-0.51548700) × R
    0.00133413999999998 × 6371000     		dl = 8499.8059399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51682114-0.51548700) × R
    0.00133413999999998 × 6371000     		dr = 8499.8059399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82681564--0.82528166) × cos(0.51682114) × R
    0.00153397999999993 × 0.869394304694246 × 6371000     		do = 8496.57887250493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82681564--0.82528166) × cos(0.51548700) × R
    0.00153397999999993 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 8503.01389491843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51682114)-sin(0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869394304694246-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.82528166--0.82681564)×0.000658449938595318×R²
    0.00153397999999993×0.000658449938595318×6371000²
    0.00153397999999993×0.000658449938595318×40589641000000     		ar = 72246630.5072239m²