Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15089 / 9954
↖ ↑ ↗
← N 57.504020°
W 14.227295°		 ← 656.31 m → N 57.504020°
W 14.216308°		 →
↑
656.40 m
↓
↑
656.40 m
↓
N 57.498117°
W 14.227295°		 ← 656.42 m →
430 842 m²		 N 57.498117°
W 14.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460494995117188 y=0.303787231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460494995117188 × 215)
    floor (0.460494995117188 × 32768)
    floor (15089.5)     		tx = 15089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303787231445312 × 215)
    floor (0.303787231445312 × 32768)
    floor (9954.5)     		ty = 9954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15089 / 9954 ti = "15/15089/9954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15089/9954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15089 ÷ 215
    15089 ÷ 32768     		x = 0.460479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9954 ÷ 215
    9954 ÷ 32768     		y = 0.30377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.07904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24831314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30377197265625 × 2 - 1) × π
    0.3924560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23293705822784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24831314} λ = -0.24831314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23293705822784))-π/2
    2×atan(3.43129265740094)-π/2
    2×1.28721540598344-π/2
    2.57443081196688-1.57079632675     		φ = 1.00363449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24831314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.227295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00363449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.504020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15089 KachelY 9954 -0.24831314 1.00363449 -14.227295 57.504020
    Oben rechts KachelX + 1 15090 KachelY 9954 -0.24812139 1.00363449 -14.216308 57.504020
    Unten links KachelX 15089 KachelY + 1 9955 -0.24831314 1.00353146 -14.227295 57.498117
    Unten rechts KachelX + 1 15090 KachelY + 1 9955 -0.24812139 1.00353146 -14.216308 57.498117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00363449-1.00353146) × R
    0.000103030000000004 × 6371000     		dl = 656.404130000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00363449-1.00353146) × R
    0.000103030000000004 × 6371000     		dr = 656.404130000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24831314--0.24812139) × cos(1.00363449) × R
    0.000191749999999991 × 0.537240426159241 × 6371000     		do = 656.313991282823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24831314--0.24812139) × cos(1.00353146) × R
    0.000191749999999991 × 0.537327321812558 × 6371000     		du = 656.42014642357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00363449)-sin(1.00353146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.537240426159241-0.537327321812558)×R²
    abs(-0.24812139--0.24831314)×8.68956533174314e-05×R²
    0.000191749999999991×8.68956533174314e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.68956533174314e-05×40589641000000     		ar = 430842.055171999m²