Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15088 / 8625
↖ ↑ ↗
← N 64.543719°
W 14.238281°		 ← 525.09 m → N 64.543719°
W 14.227295°		 →
↑
525.16 m
↓
↑
525.16 m
↓
N 64.538996°
W 14.238281°		 ← 525.18 m →
275 780 m²		 N 64.538996°
W 14.227295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460464477539062 y=0.263229370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460464477539062 × 215)
    floor (0.460464477539062 × 32768)
    floor (15088.5)     		tx = 15088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263229370117188 × 215)
    floor (0.263229370117188 × 32768)
    floor (8625.5)     		ty = 8625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15088 / 8625 ti = "15/15088/8625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15088/8625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15088 ÷ 215
    15088 ÷ 32768     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8625 ÷ 215
    8625 ÷ 32768     		y = 0.263214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263214111328125 × 2 - 1) × π
    0.47357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48776961660806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48776961660806))-π/2
    2×atan(4.42721012305911)-π/2
    2×1.34864836203279-π/2
    2.69729672406558-1.57079632675     		φ = 1.12650040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12650040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.543719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15088 KachelY 8625 -0.24850489 1.12650040 -14.238281 64.543719
    Oben rechts KachelX + 1 15089 KachelY 8625 -0.24831314 1.12650040 -14.227295 64.543719
    Unten links KachelX 15088 KachelY + 1 8626 -0.24850489 1.12641797 -14.238281 64.538996
    Unten rechts KachelX + 1 15089 KachelY + 1 8626 -0.24831314 1.12641797 -14.227295 64.538996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12650040-1.12641797) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dl = 525.161529999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12650040-1.12641797) × R
    8.24299999999667e-05 × 6371000     		dr = 525.161529999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24831314) × cos(1.12650040) × R
    0.000191750000000018 × 0.429822269676181 × 6371000     		do = 525.087755160557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24831314) × cos(1.12641797) × R
    0.000191750000000018 × 0.429896695376922 × 6371000     		du = 525.178676517792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12650040)-sin(1.12641797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429822269676181-0.429896695376922)×R²
    abs(-0.24831314--0.24850489)×7.44257007414539e-05×R²
    0.000191750000000018×7.44257007414539e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.44257007414539e-05×40589641000000     		ar = 275779.763239963m²