Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15087 / 8624
↖ ↑ ↗
← N 64.548440°
W 14.249268°		 ← 525 m → N 64.548440°
W 14.238281°		 →
↑
525.03 m
↓
↑
525.03 m
↓
N 64.543719°
W 14.249268°		 ← 525.09 m →
275 665 m²		 N 64.543719°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460433959960938 y=0.263198852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460433959960938 × 215)
    floor (0.460433959960938 × 32768)
    floor (15087.5)     		tx = 15087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263198852539062 × 215)
    floor (0.263198852539062 × 32768)
    floor (8624.5)     		ty = 8624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15087 / 8624 ti = "15/15087/8624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15087/8624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15087 ÷ 215
    15087 ÷ 32768     		x = 0.460418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8624 ÷ 215
    8624 ÷ 32768     		y = 0.26318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.07916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24869664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26318359375 × 2 - 1) × π
    0.4736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48796136420654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24869664} λ = -0.24869664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48796136420654))-π/2
    2×atan(4.4280591113613)-π/2
    2×1.34868956715992-π/2
    2.69737913431983-1.57079632675     		φ = 1.12658281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24869664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12658281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.548440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15087 KachelY 8624 -0.24869664 1.12658281 -14.249268 64.548440
    Oben rechts KachelX + 1 15088 KachelY 8624 -0.24850489 1.12658281 -14.238281 64.548440
    Unten links KachelX 15087 KachelY + 1 8625 -0.24869664 1.12650040 -14.249268 64.543719
    Unten rechts KachelX + 1 15088 KachelY + 1 8625 -0.24850489 1.12650040 -14.238281 64.543719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12658281-1.12650040) × R
    8.24099999998662e-05 × 6371000     		dl = 525.034109999148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12658281-1.12650040) × R
    8.24099999998662e-05 × 6371000     		dr = 525.034109999148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24869664--0.24850489) × cos(1.12658281) × R
    0.000191749999999991 × 0.429747859113903 × 6371000     		do = 524.996852296988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24869664--0.24850489) × cos(1.12650040) × R
    0.000191749999999991 × 0.429822269676181 × 6371000     		du = 525.087755160481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12658281)-sin(1.12650040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429747859113903-0.429822269676181)×R²
    abs(-0.24850489--0.24869664)×7.44105622780267e-05×R²
    0.000191749999999991×7.44105622780267e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.44105622780267e-05×40589641000000     		ar = 275665.118805527m²