Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15087 / 10514
↖ ↑ ↗
← N 54.046489°
W 14.249268°		 ← 717.26 m → N 54.046489°
W 14.238281°		 →
↑
717.31 m
↓
↑
717.31 m
↓
N 54.040038°
W 14.249268°		 ← 717.37 m →
514 538 m²		 N 54.040038°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460433959960938 y=0.320877075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460433959960938 × 215)
    floor (0.460433959960938 × 32768)
    floor (15087.5)     		tx = 15087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320877075195312 × 215)
    floor (0.320877075195312 × 32768)
    floor (10514.5)     		ty = 10514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15087 / 10514 ti = "15/15087/10514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15087/10514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15087 ÷ 215
    15087 ÷ 32768     		x = 0.460418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10514 ÷ 215
    10514 ÷ 32768     		y = 0.32086181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.07916259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24869664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32086181640625 × 2 - 1) × π
    0.3582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12555840307892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24869664} λ = -0.24869664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12555840307892))-π/2
    2×atan(3.08193733180697)-π/2
    2×1.25704275547367-π/2
    2.51408551094734-1.57079632675     		φ = 0.94328918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24869664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94328918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.046489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15087 KachelY 10514 -0.24869664 0.94328918 -14.249268 54.046489
    Oben rechts KachelX + 1 15088 KachelY 10514 -0.24850489 0.94328918 -14.238281 54.046489
    Unten links KachelX 15087 KachelY + 1 10515 -0.24869664 0.94317659 -14.249268 54.040038
    Unten rechts KachelX + 1 15088 KachelY + 1 10515 -0.24850489 0.94317659 -14.238281 54.040038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94328918-0.94317659) × R
    0.000112589999999968 × 6371000     		dl = 717.310889999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94328918-0.94317659) × R
    0.000112589999999968 × 6371000     		dr = 717.310889999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24869664--0.24850489) × cos(0.94328918) × R
    0.000191749999999991 × 0.58712863549938 × 6371000     		do = 717.259385924951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24869664--0.24850489) × cos(0.94317659) × R
    0.000191749999999991 × 0.587219772667592 × 6371000     		du = 717.370722666772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94328918)-sin(0.94317659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58712863549938-0.587219772667592)×R²
    abs(-0.24850489--0.24869664)×9.11371682112971e-05×R²
    0.000191749999999991×9.11371682112971e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.11371682112971e-05×40589641000000     		ar = 514537.900550879m²