Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15086 / 21366
↖ ↑ ↗
← S 47.916342°
W 14.260254°		 ← 818.72 m → S 47.916342°
W 14.249268°		 →
↑
818.74 m
↓
↑
818.74 m
↓
S 47.923705°
W 14.260254°		 ← 818.60 m →
670 267 m²		 S 47.923705°
W 14.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460403442382812 y=0.652053833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460403442382812 × 215)
    floor (0.460403442382812 × 32768)
    floor (15086.5)     		tx = 15086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652053833007812 × 215)
    floor (0.652053833007812 × 32768)
    floor (21366.5)     		ty = 21366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15086 / 21366 ti = "15/15086/21366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15086/21366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15086 ÷ 215
    15086 ÷ 32768     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21366 ÷ 215
    21366 ÷ 32768     		y = 0.65203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.3040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955286535628479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955286535628479))-π/2
    2×atan(0.384701897958836)-π/2
    2×0.367249196350303-π/2
    0.734498392700607-1.57079632675     		φ = -0.83629793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83629793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.916342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15086 KachelY 21366 -0.24888838 -0.83629793 -14.260254 -47.916342
    Oben rechts KachelX + 1 15087 KachelY 21366 -0.24869664 -0.83629793 -14.249268 -47.916342
    Unten links KachelX 15086 KachelY + 1 21367 -0.24888838 -0.83642644 -14.260254 -47.923705
    Unten rechts KachelX + 1 15087 KachelY + 1 21367 -0.24869664 -0.83642644 -14.249268 -47.923705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83629793--0.83642644) × R
    0.000128510000000026 × 6371000     		dl = 818.737210000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83629793--0.83642644) × R
    0.000128510000000026 × 6371000     		dr = 818.737210000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24869664) × cos(-0.83629793) × R
    0.000191739999999996 × 0.670214966608158 × 6371000     		do = 818.718209750425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24869664) × cos(-0.83642644) × R
    0.000191739999999996 × 0.670119585189319 × 6371000     		du = 818.6016941422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83629793)-sin(-0.83642644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670214966608158-0.670119585189319)×R²
    abs(-0.24869664--0.24888838)×9.53814188394686e-05×R²
    0.000191739999999996×9.53814188394686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.53814188394686e-05×40589641000000     		ar = 670267.365917769m²