Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15086 / 10486
↖ ↑ ↗
← N 76.529621°
W 97.130127°		 ← 142.29 m → N 76.529621°
W 97.124634°		 →
↑
142.33 m
↓
↑
142.33 m
↓
N 76.528341°
W 97.130127°		 ← 142.31 m →
20 253 m²		 N 76.528341°
W 97.124634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230201721191406 y=0.160011291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230201721191406 × 216)
    floor (0.230201721191406 × 65536)
    floor (15086.5)     		tx = 15086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160011291503906 × 216)
    floor (0.160011291503906 × 65536)
    floor (10486.5)     		ty = 10486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15086 / 10486 ti = "16/15086/10486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15086/10486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15086 ÷ 216
    15086 ÷ 65536     		x = 0.230194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10486 ÷ 216
    10486 ÷ 65536     		y = 0.160003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.53961181640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69524052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160003662109375 × 2 - 1) × π
    0.67999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13625999466818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69524052} λ = -1.69524052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13625999466818))-π/2
    2×atan(8.46770905633587)-π/2
    2×1.45324509221948-π/2
    2.90649018443897-1.57079632675     		φ = 1.33569386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69524052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33569386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.529621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15086 KachelY 10486 -1.69524052 1.33569386 -97.130127 76.529621
    Oben rechts KachelX + 1 15087 KachelY 10486 -1.69514464 1.33569386 -97.124634 76.529621
    Unten links KachelX 15086 KachelY + 1 10487 -1.69524052 1.33567152 -97.130127 76.528341
    Unten rechts KachelX + 1 15087 KachelY + 1 10487 -1.69514464 1.33567152 -97.124634 76.528341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33569386-1.33567152) × R
    2.23399999998986e-05 × 6371000     		dl = 142.328139999354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33569386-1.33567152) × R
    2.23399999998986e-05 × 6371000     		dr = 142.328139999354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69524052--1.69514464) × cos(1.33569386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.232942634717429 × 6371000     		do = 142.293353172148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69524052--1.69514464) × cos(1.33567152) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.232964360096568 × 6371000     		du = 142.306624152148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33569386)-sin(1.33567152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232942634717429-0.232964360096568)×R²
    abs(-1.69514464--1.69524052)×2.17253791386374e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.17253791386374e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.17253791386374e-05×40589641000000     		ar = 20253.2927090222m²