Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15085 / 21001
↖ ↑ ↗
← S 45.158801°
W 14.271240°		 ← 861.43 m → S 45.158801°
W 14.260254°		 →
↑
861.36 m
↓
↑
861.36 m
↓
S 45.166547°
W 14.271240°		 ← 861.31 m →
741 952 m²		 S 45.166547°
W 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460372924804688 y=0.640914916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460372924804688 × 215)
    floor (0.460372924804688 × 32768)
    floor (15085.5)     		tx = 15085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640914916992188 × 215)
    floor (0.640914916992188 × 32768)
    floor (21001.5)     		ty = 21001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15085 / 21001 ti = "15/15085/21001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15085/21001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15085 ÷ 215
    15085 ÷ 32768     		x = 0.460357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21001 ÷ 215
    21001 ÷ 32768     		y = 0.640899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.07928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24908013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.28179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.885298662183197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24908013} λ = -0.24908013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885298662183197))-π/2
    2×atan(0.412590929568056)-π/2
    2×0.391313283838224-π/2
    0.782626567676449-1.57079632675     		φ = -0.78816976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24908013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.271240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78816976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.158801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15085 KachelY 21001 -0.24908013 -0.78816976 -14.271240 -45.158801
    Oben rechts KachelX + 1 15086 KachelY 21001 -0.24888838 -0.78816976 -14.260254 -45.158801
    Unten links KachelX 15085 KachelY + 1 21002 -0.24908013 -0.78830496 -14.271240 -45.166547
    Unten rechts KachelX + 1 15086 KachelY + 1 21002 -0.24888838 -0.78830496 -14.260254 -45.166547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78816976--0.78830496) × R
    0.000135200000000002 × 6371000     		dl = 861.359200000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78816976--0.78830496) × R
    0.000135200000000002 × 6371000     		dr = 861.359200000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24908013--0.24888838) × cos(-0.78816976) × R
    0.000191750000000018 × 0.705144253037086 × 6371000     		do = 861.431896422118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24908013--0.24888838) × cos(-0.78830496) × R
    0.000191750000000018 × 0.705048381156457 × 6371000     		du = 861.314775569771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78816976)-sin(-0.78830496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705144253037086-0.705048381156457)×R²
    abs(-0.24888838--0.24908013)×9.58718806290948e-05×R²
    0.000191750000000018×9.58718806290948e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.58718806290948e-05×40589641000000     		ar = 741951.84872464m²