Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15085 / 10164
↖ ↑ ↗
← N 56.243350°
W 14.271240°		 ← 678.82 m → N 56.243350°
W 14.260254°		 →
↑
678.89 m
↓
↑
678.89 m
↓
N 56.237245°
W 14.271240°		 ← 678.93 m →
460 886 m²		 N 56.237245°
W 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460372924804688 y=0.310195922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460372924804688 × 215)
    floor (0.460372924804688 × 32768)
    floor (15085.5)     		tx = 15085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310195922851562 × 215)
    floor (0.310195922851562 × 32768)
    floor (10164.5)     		ty = 10164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15085 / 10164 ti = "15/15085/10164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15085/10164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15085 ÷ 215
    15085 ÷ 32768     		x = 0.460357666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10164 ÷ 215
    10164 ÷ 32768     		y = 0.3101806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460357666015625 × 2 - 1) × π
    -0.07928466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.24908013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3101806640625 × 2 - 1) × π
    0.379638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24908013} λ = -0.24908013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.192670062547))-π/2
    2×atan(3.29586964742495)-π/2
    2×1.27621398265145-π/2
    2.55242796530289-1.57079632675     		φ = 0.98163164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24908013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.271240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98163164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.243350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15085 KachelY 10164 -0.24908013 0.98163164 -14.271240 56.243350
    Oben rechts KachelX + 1 15086 KachelY 10164 -0.24888838 0.98163164 -14.260254 56.243350
    Unten links KachelX 15085 KachelY + 1 10165 -0.24908013 0.98152508 -14.271240 56.237245
    Unten rechts KachelX + 1 15086 KachelY + 1 10165 -0.24888838 0.98152508 -14.260254 56.237245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98163164-0.98152508) × R
    0.000106559999999978 × 6371000     		dl = 678.893759999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98163164-0.98152508) × R
    0.000106559999999978 × 6371000     		dr = 678.893759999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24908013--0.24888838) × cos(0.98163164) × R
    0.000191750000000018 × 0.555666733171665 × 6371000     		do = 678.824291161848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24908013--0.24888838) × cos(0.98152508) × R
    0.000191750000000018 × 0.555755324546795 × 6371000     		du = 678.932517862919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98163164)-sin(0.98152508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555666733171665-0.555755324546795)×R²
    abs(-0.24888838--0.24908013)×8.85913751303979e-05×R²
    0.000191750000000018×8.85913751303979e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.85913751303979e-05×40589641000000     		ar = 460886.313058088m²