Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15083 / 20525
↖ ↑ ↗
← S 41.352072°
W 14.293213°		 ← 917.04 m → S 41.352072°
W 14.282227°		 →
↑
916.98 m
↓
↑
916.98 m
↓
S 41.360319°
W 14.293213°		 ← 916.92 m →
840 853 m²		 S 41.360319°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460311889648438 y=0.626388549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460311889648438 × 215)
    floor (0.460311889648438 × 32768)
    floor (15083.5)     		tx = 15083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626388549804688 × 215)
    floor (0.626388549804688 × 32768)
    floor (20525.5)     		ty = 20525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15083 / 20525 ti = "15/15083/20525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15083/20525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15083 ÷ 215
    15083 ÷ 32768     		x = 0.460296630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20525 ÷ 215
    20525 ÷ 32768     		y = 0.626373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.07940673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24946363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.25274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.79402680530661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24946363} λ = -0.24946363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79402680530661))-π/2
    2×atan(0.452020925301522)-π/2
    2×0.424533257683975-π/2
    0.84906651536795-1.57079632675     		φ = -0.72172981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24946363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.293213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72172981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.352072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15083 KachelY 20525 -0.24946363 -0.72172981 -14.293213 -41.352072
    Oben rechts KachelX + 1 15084 KachelY 20525 -0.24927188 -0.72172981 -14.282227 -41.352072
    Unten links KachelX 15083 KachelY + 1 20526 -0.24946363 -0.72187374 -14.293213 -41.360319
    Unten rechts KachelX + 1 15084 KachelY + 1 20526 -0.24927188 -0.72187374 -14.282227 -41.360319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72172981--0.72187374) × R
    0.000143930000000014 × 6371000     		dl = 916.978030000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72172981--0.72187374) × R
    0.000143930000000014 × 6371000     		dr = 916.978030000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24946363--0.24927188) × cos(-0.72172981) × R
    0.000191749999999991 × 0.750663994718004 × 6371000     		do = 917.040599509262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24946363--0.24927188) × cos(-0.72187374) × R
    0.000191749999999991 × 0.750568894671019 × 6371000     		du = 916.924421559188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72172981)-sin(-0.72187374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750663994718004-0.750568894671019)×R²
    abs(-0.24927188--0.24946363)×9.51000469850971e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51000469850971e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51000469850971e-05×40589641000000     		ar = 840852.817505692m²