Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15080 / 20796
↖ ↑ ↗
← S 43.548548°
W 14.326172°		 ← 885.43 m → S 43.548548°
W 14.315185°		 →
↑
885.38 m
↓
↑
885.38 m
↓
S 43.556511°
W 14.326172°		 ← 885.32 m →
783 891 m²		 S 43.556511°
W 14.315185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460220336914062 y=0.634658813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460220336914062 × 215)
    floor (0.460220336914062 × 32768)
    floor (15080.5)     		tx = 15080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634658813476562 × 215)
    floor (0.634658813476562 × 32768)
    floor (20796.5)     		ty = 20796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15080 / 20796 ti = "15/15080/20796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15080/20796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15080 ÷ 215
    15080 ÷ 32768     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20796 ÷ 215
    20796 ÷ 32768     		y = 0.6346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.845990404494751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845990404494751))-π/2
    2×atan(0.429132133279514)-π/2
    2×0.405365388906918-π/2
    0.810730777813836-1.57079632675     		φ = -0.76006555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76006555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.548548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15080 KachelY 20796 -0.25003887 -0.76006555 -14.326172 -43.548548
    Oben rechts KachelX + 1 15081 KachelY 20796 -0.24984712 -0.76006555 -14.315185 -43.548548
    Unten links KachelX 15080 KachelY + 1 20797 -0.25003887 -0.76020452 -14.326172 -43.556511
    Unten rechts KachelX + 1 15081 KachelY + 1 20797 -0.24984712 -0.76020452 -14.315185 -43.556511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76006555--0.76020452) × R
    0.000138970000000072 × 6371000     		dl = 885.377870000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76006555--0.76020452) × R
    0.000138970000000072 × 6371000     		dr = 885.377870000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24984712) × cos(-0.76006555) × R
    0.000191750000000018 × 0.724790850382972 × 6371000     		do = 885.432950868801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24984712) × cos(-0.76020452) × R
    0.000191750000000018 × 0.724695097368557 × 6371000     		du = 885.315975228085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76006555)-sin(-0.76020452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724790850382972-0.724695097368557)×R²
    abs(-0.24984712--0.25003887)×9.57530144148899e-05×R²
    0.000191750000000018×9.57530144148899e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.57530144148899e-05×40589641000000     		ar = 783890.957508008m²