Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15080 / 20794
↖ ↑ ↗
← S 43.532621°
W 14.326172°		 ← 885.67 m → S 43.532621°
W 14.315185°		 →
↑
885.57 m
↓
↑
885.57 m
↓
S 43.540585°
W 14.326172°		 ← 885.55 m →
784 267 m²		 S 43.540585°
W 14.315185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460220336914062 y=0.634597778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460220336914062 × 215)
    floor (0.460220336914062 × 32768)
    floor (15080.5)     		tx = 15080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634597778320312 × 215)
    floor (0.634597778320312 × 32768)
    floor (20794.5)     		ty = 20794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15080 / 20794 ti = "15/15080/20794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15080/20794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15080 ÷ 215
    15080 ÷ 32768     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20794 ÷ 215
    20794 ÷ 32768     		y = 0.63458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.845606909297791))-π/2
    2×atan(0.429296734951446)-π/2
    2×0.405504384171822-π/2
    0.811008768343643-1.57079632675     		φ = -0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15080 KachelY 20794 -0.25003887 -0.75978756 -14.326172 -43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 15081 KachelY 20794 -0.24984712 -0.75978756 -14.315185 -43.532621
    Unten links KachelX 15080 KachelY + 1 20795 -0.25003887 -0.75992656 -14.326172 -43.540585
    Unten rechts KachelX + 1 15081 KachelY + 1 20795 -0.24984712 -0.75992656 -14.315185 -43.540585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75978756--0.75992656) × R
    0.000139 × 6371000     		dl = 885.569000000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75978756--0.75992656) × R
    0.000139 × 6371000     		dr = 885.569000000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24984712) × cos(-0.75978756) × R
    0.000191750000000018 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 885.666892919041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24984712) × cos(-0.75992656) × R
    0.000191750000000018 × 0.724886603177111 × 6371000     		du = 885.549926240418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75978756)-sin(-0.75992656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.724886603177111)×R²
    abs(-0.24984712--0.25003887)×9.57456782947341e-05×R²
    0.000191750000000018×9.57456782947341e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.57456782947341e-05×40589641000000     		ar = 784267.354926202m²