Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15080 / 20507
↖ ↑ ↗
← S 41.203456°
W 14.326172°		 ← 919.13 m → S 41.203456°
W 14.315185°		 →
↑
919.08 m
↓
↑
919.08 m
↓
S 41.211721°
W 14.326172°		 ← 919.01 m →
844 702 m²		 S 41.211721°
W 14.315185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460220336914062 y=0.625839233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460220336914062 × 215)
    floor (0.460220336914062 × 32768)
    floor (15080.5)     		tx = 15080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625839233398438 × 215)
    floor (0.625839233398438 × 32768)
    floor (20507.5)     		ty = 20507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15080 / 20507 ti = "15/15080/20507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15080/20507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15080 ÷ 215
    15080 ÷ 32768     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20507 ÷ 215
    20507 ÷ 32768     		y = 0.625823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.25164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.790575348533966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790575348533966))-π/2
    2×atan(0.453583751447537)-π/2
    2×0.425830176529679-π/2
    0.851660353059357-1.57079632675     		φ = -0.71913597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71913597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.203456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15080 KachelY 20507 -0.25003887 -0.71913597 -14.326172 -41.203456
    Oben rechts KachelX + 1 15081 KachelY 20507 -0.24984712 -0.71913597 -14.315185 -41.203456
    Unten links KachelX 15080 KachelY + 1 20508 -0.25003887 -0.71928023 -14.326172 -41.211721
    Unten rechts KachelX + 1 15081 KachelY + 1 20508 -0.24984712 -0.71928023 -14.315185 -41.211721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71913597--0.71928023) × R
    0.000144260000000007 × 6371000     		dl = 919.080460000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71913597--0.71928023) × R
    0.000144260000000007 × 6371000     		dr = 919.080460000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24984712) × cos(-0.71913597) × R
    0.000191750000000018 × 0.752375176578676 × 6371000     		do = 919.131046434279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24984712) × cos(-0.71928023) × R
    0.000191750000000018 × 0.752280139661703 × 6371000     		du = 919.014945606306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71913597)-sin(-0.71928023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752375176578676-0.752280139661703)×R²
    abs(-0.24984712--0.25003887)×9.50369169729903e-05×R²
    0.000191750000000018×9.50369169729903e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.50369169729903e-05×40589641000000     		ar = 844702.033420949m²