Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15079 / 14157
↖ ↑ ↗
← N 23.755182°
W 14.337158°		 ← 1 118.14 m → N 23.755182°
W 14.326172°		 →
↑
1 118.17 m
↓
↑
1 118.17 m
↓
N 23.745126°
W 14.337158°		 ← 1 118.22 m →
1 250 319 m²		 N 23.745126°
W 14.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460189819335938 y=0.432052612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460189819335938 × 215)
    floor (0.460189819335938 × 32768)
    floor (15079.5)     		tx = 15079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432052612304688 × 215)
    floor (0.432052612304688 × 32768)
    floor (14157.5)     		ty = 14157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15079 / 14157 ti = "15/15079/14157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15079/14157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15079 ÷ 215
    15079 ÷ 32768     		x = 0.460174560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14157 ÷ 215
    14157 ÷ 32768     		y = 0.432037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.07965087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25023062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432037353515625 × 2 - 1) × π
    0.13592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42702190181546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25023062} λ = -0.25023062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42702190181546))-π/2
    2×atan(1.53268622996738)-π/2
    2×0.992701231506056-π/2
    1.98540246301211-1.57079632675     		φ = 0.41460614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25023062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41460614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.755182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15079 KachelY 14157 -0.25023062 0.41460614 -14.337158 23.755182
    Oben rechts KachelX + 1 15080 KachelY 14157 -0.25003887 0.41460614 -14.326172 23.755182
    Unten links KachelX 15079 KachelY + 1 14158 -0.25023062 0.41443063 -14.337158 23.745126
    Unten rechts KachelX + 1 15080 KachelY + 1 14158 -0.25003887 0.41443063 -14.326172 23.745126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41460614-0.41443063) × R
    0.00017550999999999 × 6371000     		dl = 1118.17420999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41460614-0.41443063) × R
    0.00017550999999999 × 6371000     		dr = 1118.17420999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25023062--0.25003887) × cos(0.41460614) × R
    0.000191749999999991 × 0.915275049897479 × 6371000     		do = 1118.13592550041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25023062--0.25003887) × cos(0.41443063) × R
    0.000191749999999991 × 0.915345736400686 × 6371000     		du = 1118.22227890718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41460614)-sin(0.41443063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915275049897479-0.915345736400686)×R²
    abs(-0.25003887--0.25023062)×7.06865032074067e-05×R²
    0.000191749999999991×7.06865032074067e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.06865032074067e-05×40589641000000     		ar = 1250319.0374549m²