Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15077 / 20781
↖ ↑ ↗
← S 43.428988°
W 14.359131°		 ← 887.19 m → S 43.428988°
W 14.348144°		 →
↑
887.10 m
↓
↑
887.10 m
↓
S 43.436966°
W 14.359131°		 ← 887.07 m →
786 970 m²		 S 43.436966°
W 14.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460128784179688 y=0.634201049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460128784179688 × 215)
    floor (0.460128784179688 × 32768)
    floor (15077.5)     		tx = 15077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634201049804688 × 215)
    floor (0.634201049804688 × 32768)
    floor (20781.5)     		ty = 20781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15077 / 20781 ti = "15/15077/20781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15077/20781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15077 ÷ 215
    15077 ÷ 32768     		x = 0.460113525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20781 ÷ 215
    20781 ÷ 32768     		y = 0.634185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460113525390625 × 2 - 1) × π
    -0.07977294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25061411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.26837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.843114190517548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25061411} λ = -0.25061411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843114190517548))-π/2
    2×atan(0.430368185843035)-π/2
    2×0.406408748369744-π/2
    0.812817496739487-1.57079632675     		φ = -0.75797883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25061411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.359131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75797883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.428988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15077 KachelY 20781 -0.25061411 -0.75797883 -14.359131 -43.428988
    Oben rechts KachelX + 1 15078 KachelY 20781 -0.25042236 -0.75797883 -14.348144 -43.428988
    Unten links KachelX 15077 KachelY + 1 20782 -0.25061411 -0.75811807 -14.359131 -43.436966
    Unten rechts KachelX + 1 15078 KachelY + 1 20782 -0.25042236 -0.75811807 -14.348144 -43.436966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75797883--0.75811807) × R
    0.000139239999999985 × 6371000     		dl = 887.098039999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75797883--0.75811807) × R
    0.000139239999999985 × 6371000     		dr = 887.098039999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25061411--0.25042236) × cos(-0.75797883) × R
    0.000191749999999991 × 0.72622695662658 × 6371000     		do = 887.187354623034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25061411--0.25042236) × cos(-0.75811807) × R
    0.000191749999999991 × 0.726131228349643 × 6371000     		du = 887.070409202593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75797883)-sin(-0.75811807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72622695662658-0.726131228349643)×R²
    abs(-0.25042236--0.25061411)×9.5728276937157e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5728276937157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5728276937157e-05×40589641000000     		ar = 786970.293643218m²