Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15074 / 10082
↖ ↑ ↗
← N 56.740675°
W 14.392090°		 ← 669.95 m → N 56.740675°
W 14.381104°		 →
↑
670.04 m
↓
↑
670.04 m
↓
N 56.734649°
W 14.392090°		 ← 670.06 m →
448 927 m²		 N 56.734649°
W 14.381104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460037231445312 y=0.307693481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460037231445312 × 215)
    floor (0.460037231445312 × 32768)
    floor (15074.5)     		tx = 15074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307693481445312 × 215)
    floor (0.307693481445312 × 32768)
    floor (10082.5)     		ty = 10082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15074 / 10082 ti = "15/15074/10082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15074/10082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15074 ÷ 215
    15074 ÷ 32768     		x = 0.46002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10082 ÷ 215
    10082 ÷ 32768     		y = 0.30767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25118935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30767822265625 × 2 - 1) × π
    0.3846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20839336562238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25118935} λ = -0.25118935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20839336562238))-π/2
    2×atan(3.34810115463584)-π/2
    2×1.28055395703415-π/2
    2.5611079140683-1.57079632675     		φ = 0.99031159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25118935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99031159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.740675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15074 KachelY 10082 -0.25118935 0.99031159 -14.392090 56.740675
    Oben rechts KachelX + 1 15075 KachelY 10082 -0.25099761 0.99031159 -14.381104 56.740675
    Unten links KachelX 15074 KachelY + 1 10083 -0.25118935 0.99020642 -14.392090 56.734649
    Unten rechts KachelX + 1 15075 KachelY + 1 10083 -0.25099761 0.99020642 -14.381104 56.734649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99031159-0.99020642) × R
    0.000105169999999988 × 6371000     		dl = 670.038069999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99031159-0.99020642) × R
    0.000105169999999988 × 6371000     		dr = 670.038069999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25118935--0.25099761) × cos(0.99031159) × R
    0.000191739999999996 × 0.54842933661544 × 6371000     		do = 669.947863027833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25118935--0.25099761) × cos(0.99020642) × R
    0.000191739999999996 × 0.548517276410688 × 6371000     		du = 670.055288130701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99031159)-sin(0.99020642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54842933661544-0.548517276410688)×R²
    abs(-0.25099761--0.25118935)×8.79397952476824e-05×R²
    0.000191739999999996×8.79397952476824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.79397952476824e-05×40589641000000     		ar = 448926.563011856m²