Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15073 / 7529
↖ ↑ ↗
← N 69.252258°
W 14.403076°		 ← 432.77 m → N 69.252258°
W 14.392090°		 →
↑
432.78 m
↓
↑
432.78 m
↓
N 69.248366°
W 14.403076°		 ← 432.85 m →
187 312 m²		 N 69.248366°
W 14.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460006713867188 y=0.229782104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460006713867188 × 215)
    floor (0.460006713867188 × 32768)
    floor (15073.5)     		tx = 15073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229782104492188 × 215)
    floor (0.229782104492188 × 32768)
    floor (7529.5)     		ty = 7529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15073 / 7529 ti = "15/15073/7529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15073/7529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15073 ÷ 215
    15073 ÷ 32768     		x = 0.459991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7529 ÷ 215
    7529 ÷ 32768     		y = 0.229766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25138110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229766845703125 × 2 - 1) × π
    0.54046630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69792498454239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25138110} λ = -0.25138110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69792498454239))-π/2
    2×atan(5.46260064268634)-π/2
    2×1.38973811840978-π/2
    2.77947623681956-1.57079632675     		φ = 1.20867991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25138110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20867991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.252258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15073 KachelY 7529 -0.25138110 1.20867991 -14.403076 69.252258
    Oben rechts KachelX + 1 15074 KachelY 7529 -0.25118935 1.20867991 -14.392090 69.252258
    Unten links KachelX 15073 KachelY + 1 7530 -0.25138110 1.20861198 -14.403076 69.248366
    Unten rechts KachelX + 1 15074 KachelY + 1 7530 -0.25118935 1.20861198 -14.392090 69.248366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20867991-1.20861198) × R
    6.79300000001604e-05 × 6371000     		dl = 432.782030001022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20867991-1.20861198) × R
    6.79300000001604e-05 × 6371000     		dr = 432.782030001022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25138110--0.25118935) × cos(1.20867991) × R
    0.000191750000000046 × 0.354254190595702 × 6371000     		do = 432.770823708794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25138110--0.25118935) × cos(1.20861198) × R
    0.000191750000000046 × 0.354317714461359 × 6371000     		du = 432.848426956393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20867991)-sin(1.20861198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354254190595702-0.354317714461359)×R²
    abs(-0.25118935--0.25138110)×6.35238656571113e-05×R²
    0.000191750000000046×6.35238656571113e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.35238656571113e-05×40589641000000     		ar = 187312.228327804m²