Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15073 / 10071
↖ ↑ ↗
← N 56.806894°
W 14.403076°		 ← 668.80 m → N 56.806894°
W 14.392090°		 →
↑
668.89 m
↓
↑
668.89 m
↓
N 56.800878°
W 14.403076°		 ← 668.91 m →
447 392 m²		 N 56.800878°
W 14.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460006713867188 y=0.307357788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460006713867188 × 215)
    floor (0.460006713867188 × 32768)
    floor (15073.5)     		tx = 15073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307357788085938 × 215)
    floor (0.307357788085938 × 32768)
    floor (10071.5)     		ty = 10071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15073 / 10071 ti = "15/15073/10071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15073/10071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15073 ÷ 215
    15073 ÷ 32768     		x = 0.459991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10071 ÷ 215
    10071 ÷ 32768     		y = 0.307342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25138110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307342529296875 × 2 - 1) × π
    0.38531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21050258920566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25138110} λ = -0.25138110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21050258920566))-π/2
    2×atan(3.35517050134595)-π/2
    2×1.28113182720083-π/2
    2.56226365440166-1.57079632675     		φ = 0.99146733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25138110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99146733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.806894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15073 KachelY 10071 -0.25138110 0.99146733 -14.403076 56.806894
    Oben rechts KachelX + 1 15074 KachelY 10071 -0.25118935 0.99146733 -14.392090 56.806894
    Unten links KachelX 15073 KachelY + 1 10072 -0.25138110 0.99136234 -14.403076 56.800878
    Unten rechts KachelX + 1 15074 KachelY + 1 10072 -0.25118935 0.99136234 -14.392090 56.800878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99146733-0.99136234) × R
    0.000104989999999971 × 6371000     		dl = 668.891289999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99146733-0.99136234) × R
    0.000104989999999971 × 6371000     		dr = 668.891289999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25138110--0.25118935) × cos(0.99146733) × R
    0.000191750000000046 × 0.547462544342353 × 6371000     		do = 668.801732073644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25138110--0.25118935) × cos(0.99136234) × R
    0.000191750000000046 × 0.547550400126254 × 6371000     		du = 668.909060147597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99146733)-sin(0.99136234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547462544342353-0.547550400126254)×R²
    abs(-0.25118935--0.25138110)×8.78557839011362e-05×R²
    0.000191750000000046×8.78557839011362e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.78557839011362e-05×40589641000000     		ar = 447391.549138377m²