Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15072 / 3680
↖ ↑ ↗
← N 69.900118°
E151.171875°		 ← 839.63 m → N 69.900118°
E151.193848°		 →
↑
839.76 m
↓
↑
839.76 m
↓
N 69.892565°
E151.171875°		 ← 839.93 m →
705 216 m²		 N 69.892565°
E151.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919952392578125 y=0.224639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919952392578125 × 214)
    floor (0.919952392578125 × 16384)
    floor (15072.5)     		tx = 15072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224639892578125 × 214)
    floor (0.224639892578125 × 16384)
    floor (3680.5)     		ty = 3680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15072 / 3680 ti = "14/15072/3680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15072/3680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15072 ÷ 214
    15072 ÷ 16384     		x = 0.919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3680 ÷ 214
    3680 ÷ 16384     		y = 0.224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919921875 × 2 - 1) × π
    0.83984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63844696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224609375 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63844696} λ = 2.63844696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73033032868555))-π/2
    2×atan(5.64251748599914)-π/2
    2×1.39539176344744-π/2
    2.79078352689489-1.57079632675     		φ = 1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63844696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15072 KachelY 3680 2.63844696 1.21998720 151.171875 69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 15073 KachelY 3680 2.63883045 1.21998720 151.193848 69.900118
    Unten links KachelX 15072 KachelY + 1 3681 2.63844696 1.21985539 151.171875 69.892565
    Unten rechts KachelX + 1 15073 KachelY + 1 3681 2.63883045 1.21985539 151.193848 69.892565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21998720-1.21985539) × R
    0.000131810000000065 × 6371000     		dl = 839.761510000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21998720-1.21985539) × R
    0.000131810000000065 × 6371000     		dr = 839.761510000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63844696-2.63883045) × cos(1.21998720) × R
    0.000383489999999931 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 839.629738445411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63844696-2.63883045) × cos(1.21985539) × R
    0.000383489999999931 × 0.343781545880322 × 6371000     		du = 839.932157423715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21998720)-sin(1.21985539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343781545880322)×R²
    abs(2.63883045-2.63844696)×0.000123779120666079×R²
    0.000383489999999931×0.000123779120666079×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123779120666079×40589641000000     		ar = 705215.717929398m²