Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15072 / 11040
↖ ↑ ↗
← N 75.802119°
W 97.207031°		 ← 149.81 m → N 75.802119°
W 97.201538°		 →
↑
149.85 m
↓
↑
149.85 m
↓
N 75.800771°
W 97.207031°		 ← 149.82 m →
22 449 m²		 N 75.800771°
W 97.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.229988098144531 y=0.168464660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.229988098144531 × 216)
    floor (0.229988098144531 × 65536)
    floor (15072.5)     		tx = 15072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168464660644531 × 216)
    floor (0.168464660644531 × 65536)
    floor (11040.5)     		ty = 11040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15072 / 11040 ti = "16/15072/11040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15072/11040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15072 ÷ 216
    15072 ÷ 65536     		x = 0.22998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11040 ÷ 216
    11040 ÷ 65536     		y = 0.16845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69658275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16845703125 × 2 - 1) × π
    0.6630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08314590988916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69658275} λ = -1.69658275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08314590988916))-π/2
    2×atan(8.02968990288955)-π/2
    2×1.44689643693626-π/2
    2.89379287387251-1.57079632675     		φ = 1.32299655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69658275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32299655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.802119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15072 KachelY 11040 -1.69658275 1.32299655 -97.207031 75.802119
    Oben rechts KachelX + 1 15073 KachelY 11040 -1.69648688 1.32299655 -97.201538 75.802119
    Unten links KachelX 15072 KachelY + 1 11041 -1.69658275 1.32297303 -97.207031 75.800771
    Unten rechts KachelX + 1 15073 KachelY + 1 11041 -1.69648688 1.32297303 -97.201538 75.800771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32299655-1.32297303) × R
    2.35200000000546e-05 × 6371000     		dl = 149.845920000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32299655-1.32297303) × R
    2.35200000000546e-05 × 6371000     		dr = 149.845920000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69658275--1.69648688) × cos(1.32299655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.245271538541748 × 6371000     		do = 149.80885607038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69658275--1.69648688) × cos(1.32297303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.245294340041862 × 6371000     		du = 149.822782947787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32299655)-sin(1.32297303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245271538541748-0.245294340041862)×R²
    abs(-1.69648688--1.69658275)×2.28015001144943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.28015001144943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.28015001144943e-05×40589641000000     		ar = 22449.2893057909m²