Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 15072 / 10784
↖ ↑ ↗
← N 76.142959°
W 97.207031°		 ← 146.28 m → N 76.142959°
W 97.201538°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
N 76.141643°
W 97.207031°		 ← 146.30 m →
21 408 m²		 N 76.141643°
W 97.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.229988098144531 y=0.164558410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.229988098144531 × 216)
    floor (0.229988098144531 × 65536)
    floor (15072.5)     		tx = 15072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164558410644531 × 216)
    floor (0.164558410644531 × 65536)
    floor (10784.5)     		ty = 10784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 15072 / 10784 ti = "16/15072/10784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/15072/10784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15072 ÷ 216
    15072 ÷ 65536     		x = 0.22998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10784 ÷ 216
    10784 ÷ 65536     		y = 0.16455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69658275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    0.6708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10768960249463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69658275} λ = -1.69658275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10768960249463))-π/2
    2×atan(8.22920656588948)-π/2
    2×1.44987082710024-π/2
    2.89974165420049-1.57079632675     		φ = 1.32894533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69658275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32894533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.142959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15072 KachelY 10784 -1.69658275 1.32894533 -97.207031 76.142959
    Oben rechts KachelX + 1 15073 KachelY 10784 -1.69648688 1.32894533 -97.201538 76.142959
    Unten links KachelX 15072 KachelY + 1 10785 -1.69658275 1.32892236 -97.207031 76.141643
    Unten rechts KachelX + 1 15073 KachelY + 1 10785 -1.69648688 1.32892236 -97.201538 76.141643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32894533-1.32892236) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32894533-1.32892236) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69658275--1.69648688) × cos(1.32894533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239500161671703 × 6371000     		do = 146.283769662096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69658275--1.69648688) × cos(1.32892236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239522463097088 × 6371000     		du = 146.297391099974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32894533)-sin(1.32892236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239500161671703-0.239522463097088)×R²
    abs(-1.69648688--1.69658275)×2.23014253848686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23014253848686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23014253848686e-05×40589641000000     		ar = 21408.4370972034m²