Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15071 / 7521
↖ ↑ ↗
← N 69.283371°
W 14.425049°		 ← 432.15 m → N 69.283371°
W 14.414063°		 →
↑
432.21 m
↓
↑
432.21 m
↓
N 69.279484°
W 14.425049°		 ← 432.23 m →
186 796 m²		 N 69.279484°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459945678710938 y=0.229537963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459945678710938 × 215)
    floor (0.459945678710938 × 32768)
    floor (15071.5)     		tx = 15071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229537963867188 × 215)
    floor (0.229537963867188 × 32768)
    floor (7521.5)     		ty = 7521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15071 / 7521 ti = "15/15071/7521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15071/7521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15071 ÷ 215
    15071 ÷ 32768     		x = 0.459930419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7521 ÷ 215
    7521 ÷ 32768     		y = 0.229522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.08013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25176460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229522705078125 × 2 - 1) × π
    0.54095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69945896533023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25176460} λ = -0.25176460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69945896533023))-π/2
    2×atan(5.47098659742619)-π/2
    2×1.39000963316696-π/2
    2.78001926633392-1.57079632675     		φ = 1.20922294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25176460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.425049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20922294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.283371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15071 KachelY 7521 -0.25176460 1.20922294 -14.425049 69.283371
    Oben rechts KachelX + 1 15072 KachelY 7521 -0.25157285 1.20922294 -14.414063 69.283371
    Unten links KachelX 15071 KachelY + 1 7522 -0.25176460 1.20915510 -14.425049 69.279484
    Unten rechts KachelX + 1 15072 KachelY + 1 7522 -0.25157285 1.20915510 -14.414063 69.279484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20922294-1.20915510) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dl = 432.208640000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20922294-1.20915510) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dr = 432.208640000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25176460--0.25157285) × cos(1.20922294) × R
    0.000191749999999991 × 0.353746324335853 × 6371000     		do = 432.150394351887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25176460--0.25157285) × cos(1.20915510) × R
    0.000191749999999991 × 0.353809777082489 × 6371000     		du = 432.227910717698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20922294)-sin(1.20915510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353746324335853-0.353809777082489)×R²
    abs(-0.25157285--0.25176460)×6.34527466357726e-05×R²
    0.000191749999999991×6.34527466357726e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.34527466357726e-05×40589641000000     		ar = 186795.885911654m²