Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15070 / 7524
↖ ↑ ↗
← N 69.271708°
W 14.436035°		 ← 432.36 m → N 69.271708°
W 14.425049°		 →
↑
432.40 m
↓
↑
432.40 m
↓
N 69.267820°
W 14.436035°		 ← 432.44 m →
186 969 m²		 N 69.267820°
W 14.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459915161132812 y=0.229629516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459915161132812 × 215)
    floor (0.459915161132812 × 32768)
    floor (15070.5)     		tx = 15070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229629516601562 × 215)
    floor (0.229629516601562 × 32768)
    floor (7524.5)     		ty = 7524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15070 / 7524 ti = "15/15070/7524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15070/7524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15070 ÷ 215
    15070 ÷ 32768     		x = 0.45989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7524 ÷ 215
    7524 ÷ 32768     		y = 0.2296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2296142578125 × 2 - 1) × π
    0.540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25195634} λ = -0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69888372253479))-π/2
    2×atan(5.46784035681495)-π/2
    2×1.38990786077852-π/2
    2.77981572155703-1.57079632675     		φ = 1.20901939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20901939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.271708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15070 KachelY 7524 -0.25195634 1.20901939 -14.436035 69.271708
    Oben rechts KachelX + 1 15071 KachelY 7524 -0.25176460 1.20901939 -14.425049 69.271708
    Unten links KachelX 15070 KachelY + 1 7525 -0.25195634 1.20895152 -14.436035 69.267820
    Unten rechts KachelX + 1 15071 KachelY + 1 7525 -0.25176460 1.20895152 -14.425049 69.267820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20901939-1.20895152) × R
    6.78699999998589e-05 × 6371000     		dl = 432.399769999101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20901939-1.20895152) × R
    6.78699999998589e-05 × 6371000     		dr = 432.399769999101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25195634--0.25176460) × cos(1.20901939) × R
    0.000191739999999996 × 0.35393670574857 × 6371000     		do = 432.360422450621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25195634--0.25176460) × cos(1.20895152) × R
    0.000191739999999996 × 0.35400018166599 × 6371000     		du = 432.437963078721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20901939)-sin(1.20895152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35393670574857-0.35400018166599)×R²
    abs(-0.25176460--0.25195634)×6.34759174201749e-05×R²
    0.000191739999999996×6.34759174201749e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.34759174201749e-05×40589641000000     		ar = 186969.311571076m²