Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15070 / 3677
↖ ↑ ↗
← N 69.922759°
E151.127929°		 ← 838.74 m → N 69.922759°
E151.149902°		 →
↑
838.87 m
↓
↑
838.87 m
↓
N 69.915214°
E151.127929°		 ← 839.05 m →
703 724 m²		 N 69.915214°
E151.149902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919830322265625 y=0.224456787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919830322265625 × 214)
    floor (0.919830322265625 × 16384)
    floor (15070.5)     		tx = 15070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224456787109375 × 214)
    floor (0.224456787109375 × 16384)
    floor (3677.5)     		ty = 3677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15070 / 3677 ti = "14/15070/3677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15070/3677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15070 ÷ 214
    15070 ÷ 16384     		x = 0.9197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3677 ÷ 214
    3677 ÷ 16384     		y = 0.22442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9197998046875 × 2 - 1) × π
    0.839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63767996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22442626953125 × 2 - 1) × π
    0.5511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63767996} λ = 2.63767996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73148081427643))-π/2
    2×atan(5.64901285676186)-π/2
    2×1.39558934334329-π/2
    2.79117868668657-1.57079632675     		φ = 1.22038236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63767996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22038236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.922759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15070 KachelY 3677 2.63767996 1.22038236 151.127929 69.922759
    Oben rechts KachelX + 1 15071 KachelY 3677 2.63806346 1.22038236 151.149902 69.922759
    Unten links KachelX 15070 KachelY + 1 3678 2.63767996 1.22025069 151.127929 69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 15071 KachelY + 1 3678 2.63806346 1.22025069 151.149902 69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22038236-1.22025069) × R
    0.000131670000000028 × 6371000     		dl = 838.869570000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22038236-1.22025069) × R
    0.000131670000000028 × 6371000     		dr = 838.869570000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63767996-2.63806346) × cos(1.22038236) × R
    0.000383500000000314 × 0.343286647174553 × 6371000     		do = 838.744884379358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63767996-2.63806346) × cos(1.22025069) × R
    0.000383500000000314 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 839.047033705195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22038236)-sin(1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343286647174553-0.343410312702587)×R²
    abs(2.63806346-2.63767996)×0.000123665528033889×R²
    0.000383500000000314×0.000123665528033889×6371000²
    0.000383500000000314×0.000123665528033889×40589641000000     		ar = 703724.293453117m²