Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15070 / 14996
↖ ↑ ↗
← S 81.582843°
E151.127929°		 ← 357.65 m → S 81.582843°
E151.149902°		 →
↑
357.54 m
↓
↑
357.54 m
↓
S 81.586059°
E151.127929°		 ← 357.51 m →
127 848 m²		 S 81.586059°
E151.149902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919830322265625 y=0.915313720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919830322265625 × 214)
    floor (0.919830322265625 × 16384)
    floor (15070.5)     		tx = 15070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915313720703125 × 214)
    floor (0.915313720703125 × 16384)
    floor (14996.5)     		ty = 14996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15070 / 14996 ti = "14/15070/14996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15070/14996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15070 ÷ 214
    15070 ÷ 16384     		x = 0.9197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14996 ÷ 214
    14996 ÷ 16384     		y = 0.915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9197998046875 × 2 - 1) × π
    0.839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63767996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63767996} λ = 2.63767996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6093013201189))-π/2
    2×atan(0.0735859388216064)-π/2
    2×0.073453548751746-π/2
    0.146907097503492-1.57079632675     		φ = -1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63767996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15070 KachelY 14996 2.63767996 -1.42388923 151.127929 -81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 15071 KachelY 14996 2.63806346 -1.42388923 151.149902 -81.582843
    Unten links KachelX 15070 KachelY + 1 14997 2.63767996 -1.42394535 151.127929 -81.586059
    Unten rechts KachelX + 1 15071 KachelY + 1 14997 2.63806346 -1.42394535 151.149902 -81.586059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42388923--1.42394535) × R
    5.61200000002149e-05 × 6371000     		dl = 357.540520001369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42388923--1.42394535) × R
    5.61200000002149e-05 × 6371000     		dr = 357.540520001369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63767996-2.63806346) × cos(-1.42388923) × R
    0.000383500000000314 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 357.645272777269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63767996-2.63806346) × cos(-1.42394535) × R
    0.000383500000000314 × 0.146323733611081 × 6371000     		du = 357.509632371975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42388923)-sin(-1.42394535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.146323733611081)×R²
    abs(2.63806346-2.63767996)×5.55157364555692e-05×R²
    0.000383500000000314×5.55157364555692e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.55157364555692e-05×40589641000000     		ar = 127848.428367631m²