Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15070 / 10065
↖ ↑ ↗
← N 56.842964°
W 14.436035°		 ← 668.12 m → N 56.842964°
W 14.425049°		 →
↑
668.19 m
↓
↑
668.19 m
↓
N 56.836954°
W 14.436035°		 ← 668.23 m →
446 469 m²		 N 56.836954°
W 14.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459915161132812 y=0.307174682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459915161132812 × 215)
    floor (0.459915161132812 × 32768)
    floor (15070.5)     		tx = 15070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307174682617188 × 215)
    floor (0.307174682617188 × 32768)
    floor (10065.5)     		ty = 10065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15070 / 10065 ti = "15/15070/10065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15070/10065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15070 ÷ 215
    15070 ÷ 32768     		x = 0.45989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10065 ÷ 215
    10065 ÷ 32768     		y = 0.307159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307159423828125 × 2 - 1) × π
    0.38568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21165307479654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25195634} λ = -0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21165307479654))-π/2
    2×atan(3.359032797995)-π/2
    2×1.281446599516-π/2
    2.56289319903201-1.57079632675     		φ = 0.99209687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99209687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.842964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15070 KachelY 10065 -0.25195634 0.99209687 -14.436035 56.842964
    Oben rechts KachelX + 1 15071 KachelY 10065 -0.25176460 0.99209687 -14.425049 56.842964
    Unten links KachelX 15070 KachelY + 1 10066 -0.25195634 0.99199199 -14.436035 56.836954
    Unten rechts KachelX + 1 15071 KachelY + 1 10066 -0.25176460 0.99199199 -14.425049 56.836954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99209687-0.99199199) × R
    0.000104879999999974 × 6371000     		dl = 668.190479999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99209687-0.99199199) × R
    0.000104879999999974 × 6371000     		dr = 668.190479999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25195634--0.25176460) × cos(0.99209687) × R
    0.000191739999999996 × 0.546935617815634 × 6371000     		do = 668.123172678352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25195634--0.25176460) × cos(0.99199199) × R
    0.000191739999999996 × 0.547023417686885 × 6371000     		du = 668.230426853488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99209687)-sin(0.99199199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546935617815634-0.547023417686885)×R²
    abs(-0.25176460--0.25195634)×8.77998712509598e-05×R²
    0.000191739999999996×8.77998712509598e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.77998712509598e-05×40589641000000     		ar = 446469.37696962m²