Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15070 / 10051
↖ ↑ ↗
← N 56.926992°
W 14.436035°		 ← 666.62 m → N 56.926992°
W 14.425049°		 →
↑
666.66 m
↓
↑
666.66 m
↓
N 56.920997°
W 14.436035°		 ← 666.73 m →
444 447 m²		 N 56.920997°
W 14.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459915161132812 y=0.306747436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459915161132812 × 215)
    floor (0.459915161132812 × 32768)
    floor (15070.5)     		tx = 15070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306747436523438 × 215)
    floor (0.306747436523438 × 32768)
    floor (10051.5)     		ty = 10051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15070 / 10051 ti = "15/15070/10051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15070/10051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15070 ÷ 215
    15070 ÷ 32768     		x = 0.45989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10051 ÷ 215
    10051 ÷ 32768     		y = 0.306732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306732177734375 × 2 - 1) × π
    0.38653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21433754117526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25195634} λ = -0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21433754117526))-π/2
    2×atan(3.36806212264309)-π/2
    2×1.2821798900936-π/2
    2.56435978018721-1.57079632675     		φ = 0.99356345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99356345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.926992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15070 KachelY 10051 -0.25195634 0.99356345 -14.436035 56.926992
    Oben rechts KachelX + 1 15071 KachelY 10051 -0.25176460 0.99356345 -14.425049 56.926992
    Unten links KachelX 15070 KachelY + 1 10052 -0.25195634 0.99345881 -14.436035 56.920997
    Unten rechts KachelX + 1 15071 KachelY + 1 10052 -0.25176460 0.99345881 -14.425049 56.920997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99356345-0.99345881) × R
    0.000104639999999989 × 6371000     		dl = 666.661439999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99356345-0.99345881) × R
    0.000104639999999989 × 6371000     		dr = 666.661439999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25195634--0.25176460) × cos(0.99356345) × R
    0.000191739999999996 × 0.545707246436577 × 6371000     		do = 666.62262424766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25195634--0.25176460) × cos(0.99345881) × R
    0.000191739999999996 × 0.545794929246487 × 6371000     		du = 666.729735423525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99356345)-sin(0.99345881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545707246436577-0.545794929246487)×R²
    abs(-0.25176460--0.25195634)×8.76828099105609e-05×R²
    0.000191739999999996×8.76828099105609e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.76828099105609e-05×40589641000000     		ar = 444447.302468626m²