Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15069 / 7654
↖ ↑ ↗
← N 68.760277°
W 14.447021°		 ← 442.56 m → N 68.760277°
W 14.436035°		 →
↑
442.59 m
↓
↑
442.59 m
↓
N 68.756296°
W 14.447021°		 ← 442.64 m →
195 894 m²		 N 68.756296°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459884643554688 y=0.233596801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459884643554688 × 215)
    floor (0.459884643554688 × 32768)
    floor (15069.5)     		tx = 15069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233596801757812 × 215)
    floor (0.233596801757812 × 32768)
    floor (7654.5)     		ty = 7654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15069 / 7654 ti = "15/15069/7654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15069/7654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15069 ÷ 215
    15069 ÷ 32768     		x = 0.459869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7654 ÷ 215
    7654 ÷ 32768     		y = 0.23358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.08026123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25214809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23358154296875 × 2 - 1) × π
    0.5328369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67395653473236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25214809} λ = -0.25214809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67395653473236))-π/2
    2×atan(5.33322720724624)-π/2
    2×1.38544477244771-π/2
    2.77088954489543-1.57079632675     		φ = 1.20009322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25214809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.447021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20009322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.760277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15069 KachelY 7654 -0.25214809 1.20009322 -14.447021 68.760277
    Oben rechts KachelX + 1 15070 KachelY 7654 -0.25195634 1.20009322 -14.436035 68.760277
    Unten links KachelX 15069 KachelY + 1 7655 -0.25214809 1.20002375 -14.447021 68.756296
    Unten rechts KachelX + 1 15070 KachelY + 1 7655 -0.25195634 1.20002375 -14.436035 68.756296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20009322-1.20002375) × R
    6.94700000001269e-05 × 6371000     		dl = 442.593370000809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20009322-1.20002375) × R
    6.94700000001269e-05 × 6371000     		dr = 442.593370000809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25214809--0.25195634) × cos(1.20009322) × R
    0.000191749999999991 × 0.362270868218767 × 6371000     		do = 442.564311747601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25214809--0.25195634) × cos(1.20002375) × R
    0.000191749999999991 × 0.362335618446188 × 6371000     		du = 442.643413166865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20009322)-sin(1.20002375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362270868218767-0.362335618446188)×R²
    abs(-0.25195634--0.25214809)×6.47502274210288e-05×R²
    0.000191749999999991×6.47502274210288e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.47502274210288e-05×40589641000000     		ar = 195893.535138898m²