Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15069 / 7652
↖ ↑ ↗
← N 68.768235°
W 14.447021°		 ← 442.41 m → N 68.768235°
W 14.436035°		 →
↑
442.40 m
↓
↑
442.40 m
↓
N 68.764256°
W 14.447021°		 ← 442.49 m →
195 739 m²		 N 68.764256°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459884643554688 y=0.233535766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459884643554688 × 215)
    floor (0.459884643554688 × 32768)
    floor (15069.5)     		tx = 15069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233535766601562 × 215)
    floor (0.233535766601562 × 32768)
    floor (7652.5)     		ty = 7652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15069 / 7652 ti = "15/15069/7652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15069/7652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15069 ÷ 215
    15069 ÷ 32768     		x = 0.459869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7652 ÷ 215
    7652 ÷ 32768     		y = 0.2335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.08026123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25214809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2335205078125 × 2 - 1) × π
    0.532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67434002992932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25214809} λ = -0.25214809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67434002992932))-π/2
    2×atan(5.33527286648969)-π/2
    2×1.38551422460339-π/2
    2.77102844920678-1.57079632675     		φ = 1.20023212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25214809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.447021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20023212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.768235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15069 KachelY 7652 -0.25214809 1.20023212 -14.447021 68.768235
    Oben rechts KachelX + 1 15070 KachelY 7652 -0.25195634 1.20023212 -14.436035 68.768235
    Unten links KachelX 15069 KachelY + 1 7653 -0.25214809 1.20016268 -14.447021 68.764256
    Unten rechts KachelX + 1 15070 KachelY + 1 7653 -0.25195634 1.20016268 -14.436035 68.764256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20023212-1.20016268) × R
    6.94399999998652e-05 × 6371000     		dl = 442.402239999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20023212-1.20016268) × R
    6.94399999998652e-05 × 6371000     		dr = 442.402239999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25214809--0.25195634) × cos(1.20023212) × R
    0.000191749999999991 × 0.362141399804119 × 6371000     		do = 442.406148050633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25214809--0.25195634) × cos(1.20016268) × R
    0.000191749999999991 × 0.362206125563978 × 6371000     		du = 442.485219579362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20023212)-sin(1.20016268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362141399804119-0.362206125563978)×R²
    abs(-0.25195634--0.25214809)×6.47257598583861e-05×R²
    0.000191749999999991×6.47257598583861e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.47257598583861e-05×40589641000000     		ar = 195738.961675831m²