Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15069 / 14995
↖ ↑ ↗
← S 81.579626°
E151.105957°		 ← 357.77 m → S 81.579626°
E151.127929°		 →
↑
357.73 m
↓
↑
357.73 m
↓
S 81.582843°
E151.105957°		 ← 357.64 m →
127 962 m²		 S 81.582843°
E151.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919769287109375 y=0.915252685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919769287109375 × 214)
    floor (0.919769287109375 × 16384)
    floor (15069.5)     		tx = 15069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915252685546875 × 214)
    floor (0.915252685546875 × 16384)
    floor (14995.5)     		ty = 14995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15069 / 14995 ti = "14/15069/14995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15069/14995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15069 ÷ 214
    15069 ÷ 16384     		x = 0.91973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14995 ÷ 214
    14995 ÷ 16384     		y = 0.91522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91973876953125 × 2 - 1) × π
    0.8394775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63729647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.8304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60891782492194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63729647} λ = 2.63729647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60891782492194))-π/2
    2×atan(0.0736141640874894)-π/2
    2×0.0734816219460439-π/2
    0.146963243892088-1.57079632675     		φ = -1.42383308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63729647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.105957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42383308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.579626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15069 KachelY 14995 2.63729647 -1.42383308 151.105957 -81.579626
    Oben rechts KachelX + 1 15070 KachelY 14995 2.63767996 -1.42383308 151.127929 -81.579626
    Unten links KachelX 15069 KachelY + 1 14996 2.63729647 -1.42388923 151.105957 -81.582843
    Unten rechts KachelX + 1 15070 KachelY + 1 14996 2.63767996 -1.42388923 151.127929 -81.582843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42383308--1.42388923) × R
    5.61499999998105e-05 × 6371000     		dl = 357.731649998793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42383308--1.42388923) × R
    5.61499999998105e-05 × 6371000     		dr = 357.731649998793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63729647-2.63767996) × cos(-1.42383308) × R
    0.000383489999999931 × 0.146434794299587 × 6371000     		do = 357.771655203294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63729647-2.63767996) × cos(-1.42388923) × R
    0.000383489999999931 × 0.146379249347537 × 6371000     		du = 357.635946954935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42383308)-sin(-1.42388923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146434794299587-0.146379249347537)×R²
    abs(2.63767996-2.63729647)×5.55449520502072e-05×R²
    0.000383489999999931×5.55449520502072e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.55449520502072e-05×40589641000000     		ar = 127961.971004607m²