Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15068 / 7649
↖ ↑ ↗
← N 68.780168°
W 14.458008°		 ← 442.17 m → N 68.780168°
W 14.447021°		 →
↑
442.21 m
↓
↑
442.21 m
↓
N 68.776191°
W 14.458008°		 ← 442.25 m →
195 550 m²		 N 68.776191°
W 14.447021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459854125976562 y=0.233444213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459854125976562 × 215)
    floor (0.459854125976562 × 32768)
    floor (15068.5)     		tx = 15068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233444213867188 × 215)
    floor (0.233444213867188 × 32768)
    floor (7649.5)     		ty = 7649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15068 / 7649 ti = "15/15068/7649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15068/7649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15068 ÷ 215
    15068 ÷ 32768     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7649 ÷ 215
    7649 ÷ 32768     		y = 0.233428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233428955078125 × 2 - 1) × π
    0.53314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67491527272476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67491527272476))-π/2
    2×atan(5.33834282666944)-π/2
    2×1.38561835629752-π/2
    2.77123671259504-1.57079632675     		φ = 1.20044039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20044039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.780168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15068 KachelY 7649 -0.25233984 1.20044039 -14.458008 68.780168
    Oben rechts KachelX + 1 15069 KachelY 7649 -0.25214809 1.20044039 -14.447021 68.780168
    Unten links KachelX 15068 KachelY + 1 7650 -0.25233984 1.20037098 -14.458008 68.776191
    Unten rechts KachelX + 1 15069 KachelY + 1 7650 -0.25214809 1.20037098 -14.447021 68.776191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20044039-1.20037098) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dl = 442.211110000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20044039-1.20037098) × R
    6.94100000000475e-05 × 6371000     		dr = 442.211110000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25214809) × cos(1.20044039) × R
    0.000191749999999991 × 0.361947258658434 × 6371000     		do = 442.168977607023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25214809) × cos(1.20037098) × R
    0.000191749999999991 × 0.36201196168954 × 6371000     		du = 442.248021369416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20044039)-sin(1.20037098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361947258658434-0.36201196168954)×R²
    abs(-0.25214809--0.25233984)×6.47030311057284e-05×R²
    0.000191749999999991×6.47030311057284e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.47030311057284e-05×40589641000000     		ar = 195549.51148867m²