Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15068 / 14998
↖ ↑ ↗
← S 81.589274°
E151.083984°		 ← 357.37 m → S 81.589274°
E151.105957°		 →
↑
357.29 m
↓
↑
357.29 m
↓
S 81.592487°
E151.083984°		 ← 357.24 m →
127 660 m²		 S 81.592487°
E151.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919708251953125 y=0.915435791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919708251953125 × 214)
    floor (0.919708251953125 × 16384)
    floor (15068.5)     		tx = 15068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915435791015625 × 214)
    floor (0.915435791015625 × 16384)
    floor (14998.5)     		ty = 14998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15068 / 14998 ti = "14/15068/14998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15068/14998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15068 ÷ 214
    15068 ÷ 16384     		x = 0.919677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14998 ÷ 214
    14998 ÷ 16384     		y = 0.9154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919677734375 × 2 - 1) × π
    0.83935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63691297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61006831051282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63691297} λ = 2.63691297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61006831051282))-π/2
    2×atan(0.073529520752227)-π/2
    2×0.0733974343030515-π/2
    0.146794868606103-1.57079632675     		φ = -1.42400146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63691297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42400146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.589274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15068 KachelY 14998 2.63691297 -1.42400146 151.083984 -81.589274
    Oben rechts KachelX + 1 15069 KachelY 14998 2.63729647 -1.42400146 151.105957 -81.589274
    Unten links KachelX 15068 KachelY + 1 14999 2.63691297 -1.42405754 151.083984 -81.592487
    Unten rechts KachelX + 1 15069 KachelY + 1 14999 2.63729647 -1.42405754 151.105957 -81.592487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42400146--1.42405754) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dl = 357.285680000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42400146--1.42405754) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dr = 357.285680000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63691297-2.63729647) × cos(-1.42400146) × R
    0.00038349999999987 × 0.146268227306236 × 6371000     		do = 357.374015010318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63691297-2.63729647) × cos(-1.42405754) × R
    0.00038349999999987 × 0.146212750218484 × 6371000     		du = 357.238469034572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42400146)-sin(-1.42405754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146268227306236-0.146212750218484)×R²
    abs(2.63729647-2.63691297)×5.54770877514432e-05×R²
    0.00038349999999987×5.54770877514432e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.54770877514432e-05×40589641000000     		ar = 127660.403682526m²