Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15067 / 14997
↖ ↑ ↗
← S 81.586059°
E151.062012°		 ← 357.50 m → S 81.586059°
E151.083984°		 →
↑
357.48 m
↓
↑
357.48 m
↓
S 81.589274°
E151.062012°		 ← 357.36 m →
127 774 m²		 S 81.589274°
E151.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919647216796875 y=0.915374755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919647216796875 × 214)
    floor (0.919647216796875 × 16384)
    floor (15067.5)     		tx = 15067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915374755859375 × 214)
    floor (0.915374755859375 × 16384)
    floor (14997.5)     		ty = 14997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15067 / 14997 ti = "14/15067/14997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15067/14997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15067 ÷ 214
    15067 ÷ 16384     		x = 0.91961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14997 ÷ 214
    14997 ÷ 16384     		y = 0.91534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91961669921875 × 2 - 1) × π
    0.8392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63652948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.8306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60968481531586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63652948} λ = 2.63652948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60968481531586))-π/2
    2×atan(0.0735577243779021)-π/2
    2×0.0734254862053986-π/2
    0.146850972410797-1.57079632675     		φ = -1.42394535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63652948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42394535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.586059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15067 KachelY 14997 2.63652948 -1.42394535 151.062012 -81.586059
    Oben rechts KachelX + 1 15068 KachelY 14997 2.63691297 -1.42394535 151.083984 -81.586059
    Unten links KachelX 15067 KachelY + 1 14998 2.63652948 -1.42400146 151.062012 -81.589274
    Unten rechts KachelX + 1 15068 KachelY + 1 14998 2.63691297 -1.42400146 151.083984 -81.589274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42394535--1.42400146) × R
    5.61099999998316e-05 × 6371000     		dl = 357.476809998927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42394535--1.42400146) × R
    5.61099999998316e-05 × 6371000     		dr = 357.476809998927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63652948-2.63691297) × cos(-1.42394535) × R
    0.000383489999999931 × 0.146323733611081 × 6371000     		do = 357.500310086549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63652948-2.63691297) × cos(-1.42400146) × R
    0.000383489999999931 × 0.146268227306236 × 6371000     		du = 357.364696261613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42394535)-sin(-1.42400146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146323733611081-0.146268227306236)×R²
    abs(2.63691297-2.63652948)×5.55063048454096e-05×R²
    0.000383489999999931×5.55063048454096e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.55063048454096e-05×40589641000000     		ar = 127773.831057868m²