Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15065 / 7667
↖ ↑ ↗
← N 68.708476°
W 14.490967°		 ← 443.59 m → N 68.708476°
W 14.479980°		 →
↑
443.61 m
↓
↑
443.61 m
↓
N 68.704486°
W 14.490967°		 ← 443.67 m →
196 801 m²		 N 68.704486°
W 14.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459762573242188 y=0.233993530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459762573242188 × 215)
    floor (0.459762573242188 × 32768)
    floor (15065.5)     		tx = 15065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233993530273438 × 215)
    floor (0.233993530273438 × 32768)
    floor (7667.5)     		ty = 7667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15065 / 7667 ti = "15/15065/7667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15065/7667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15065 ÷ 215
    15065 ÷ 32768     		x = 0.459747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7667 ÷ 215
    7667 ÷ 32768     		y = 0.233978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.08050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25291508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233978271484375 × 2 - 1) × π
    0.53204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67146381595212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25291508} λ = -0.25291508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67146381595212))-π/2
    2×atan(5.31994952726379)-π/2
    2×1.38499272787279-π/2
    2.76998545574558-1.57079632675     		φ = 1.19918913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25291508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.490967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19918913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.708476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15065 KachelY 7667 -0.25291508 1.19918913 -14.490967 68.708476
    Oben rechts KachelX + 1 15066 KachelY 7667 -0.25272333 1.19918913 -14.479980 68.708476
    Unten links KachelX 15065 KachelY + 1 7668 -0.25291508 1.19911950 -14.490967 68.704486
    Unten rechts KachelX + 1 15066 KachelY + 1 7668 -0.25272333 1.19911950 -14.479980 68.704486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19918913-1.19911950) × R
    6.96300000000427e-05 × 6371000     		dl = 443.612730000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19918913-1.19911950) × R
    6.96300000000427e-05 × 6371000     		dr = 443.612730000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25291508--0.25272333) × cos(1.19918913) × R
    0.000191749999999991 × 0.363113397800546 × 6371000     		do = 443.593578953989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25291508--0.25272333) × cos(1.19911950) × R
    0.000191749999999991 × 0.363178274321431 × 6371000     		du = 443.672834658306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19918913)-sin(1.19911950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363113397800546-0.363178274321431)×R²
    abs(-0.25272333--0.25291508)×6.48765208852153e-05×R²
    0.000191749999999991×6.48765208852153e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.48765208852153e-05×40589641000000     		ar = 196801.338069682m²