Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15064 / 7666
↖ ↑ ↗
← N 68.712465°
W 14.501953°		 ← 443.51 m → N 68.712465°
W 14.490967°		 →
↑
443.55 m
↓
↑
443.55 m
↓
N 68.708476°
W 14.501953°		 ← 443.59 m →
196 738 m²		 N 68.708476°
W 14.490967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459732055664062 y=0.233963012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459732055664062 × 215)
    floor (0.459732055664062 × 32768)
    floor (15064.5)     		tx = 15064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233963012695312 × 215)
    floor (0.233963012695312 × 32768)
    floor (7666.5)     		ty = 7666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15064 / 7666 ti = "15/15064/7666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15064/7666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15064 ÷ 215
    15064 ÷ 32768     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7666 ÷ 215
    7666 ÷ 32768     		y = 0.23394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23394775390625 × 2 - 1) × π
    0.5321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6716555635506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6716555635506))-π/2
    2×atan(5.3209697126156)-π/2
    2×1.38502753782419-π/2
    2.77005507564839-1.57079632675     		φ = 1.19925875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19925875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.712465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15064 KachelY 7666 -0.25310683 1.19925875 -14.501953 68.712465
    Oben rechts KachelX + 1 15065 KachelY 7666 -0.25291508 1.19925875 -14.490967 68.712465
    Unten links KachelX 15064 KachelY + 1 7667 -0.25310683 1.19918913 -14.501953 68.708476
    Unten rechts KachelX + 1 15065 KachelY + 1 7667 -0.25291508 1.19918913 -14.490967 68.708476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19925875-1.19918913) × R
    6.96200000001035e-05 × 6371000     		dl = 443.549020000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19925875-1.19918913) × R
    6.96200000001035e-05 × 6371000     		dr = 443.549020000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25291508) × cos(1.19925875) × R
    0.000191749999999991 × 0.363048528836867 × 6371000     		do = 443.514332481852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25291508) × cos(1.19918913) × R
    0.000191749999999991 × 0.363113397800546 × 6371000     		du = 443.593578953989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19925875)-sin(1.19918913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363048528836867-0.363113397800546)×R²
    abs(-0.25291508--0.25310683)×6.48689636789657e-05×R²
    0.000191749999999991×6.48689636789657e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.48689636789657e-05×40589641000000     		ar = 196737.922455476m²