Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15064 / 15000
↖ ↑ ↗
← S 81.595699°
E150.996094°		 ← 357.10 m → S 81.595699°
E151.018066°		 →
↑
357.03 m
↓
↑
357.03 m
↓
S 81.598910°
E150.996094°		 ← 356.97 m →
127 473 m²		 S 81.598910°
E151.018066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919464111328125 y=0.915557861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919464111328125 × 214)
    floor (0.919464111328125 × 16384)
    floor (15064.5)     		tx = 15064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915557861328125 × 214)
    floor (0.915557861328125 × 16384)
    floor (15000.5)     		ty = 15000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15064 / 15000 ti = "14/15064/15000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15064/15000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15064 ÷ 214
    15064 ÷ 16384     		x = 0.91943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15000 ÷ 214
    15000 ÷ 16384     		y = 0.91552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91943359375 × 2 - 1) × π
    0.8388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63537899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61083530090674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63537899} λ = 2.63537899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61083530090674))-π/2
    2×atan(0.0734731459383744)-π/2
    2×0.0733413624145633-π/2
    0.146682724829127-1.57079632675     		φ = -1.42411360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63537899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42411360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.595699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15064 KachelY 15000 2.63537899 -1.42411360 150.996094 -81.595699
    Oben rechts KachelX + 1 15065 KachelY 15000 2.63576249 -1.42411360 151.018066 -81.595699
    Unten links KachelX 15064 KachelY + 1 15001 2.63537899 -1.42416964 150.996094 -81.598910
    Unten rechts KachelX + 1 15065 KachelY + 1 15001 2.63576249 -1.42416964 151.018066 -81.598910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42411360--1.42416964) × R
    5.60399999998129e-05 × 6371000     		dl = 357.030839998808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42411360--1.42416964) × R
    5.60399999998129e-05 × 6371000     		dr = 357.030839998808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63537899-2.63576249) × cos(-1.42411360) × R
    0.00038349999999987 × 0.146157292456126 × 6371000     		do = 357.102970276144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63537899-2.63576249) × cos(-1.42416964) × R
    0.00038349999999987 × 0.146101854019827 × 6371000     		du = 356.967518736661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42411360)-sin(-1.42416964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146157292456126-0.146101854019827)×R²
    abs(2.63576249-2.63537899)×5.54384362990157e-05×R²
    0.00038349999999987×5.54384362990157e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.54384362990157e-05×40589641000000     		ar = 127472.593289338m²