Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15063 / 7559
↖ ↑ ↗
← N 69.135185°
W 14.512940°		 ← 435.10 m → N 69.135185°
W 14.501953°		 →
↑
435.14 m
↓
↑
435.14 m
↓
N 69.131271°
W 14.512940°		 ← 435.18 m →
189 348 m²		 N 69.131271°
W 14.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459701538085938 y=0.230697631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459701538085938 × 215)
    floor (0.459701538085938 × 32768)
    floor (15063.5)     		tx = 15063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230697631835938 × 215)
    floor (0.230697631835938 × 32768)
    floor (7559.5)     		ty = 7559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15063 / 7559 ti = "15/15063/7559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15063/7559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15063 ÷ 215
    15063 ÷ 32768     		x = 0.459686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7559 ÷ 215
    7559 ÷ 32768     		y = 0.230682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.08062744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25329858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230682373046875 × 2 - 1) × π
    0.53863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69217255658798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25329858} λ = -0.25329858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69217255658798))-π/2
    2×atan(5.43126763288816)-π/2
    2×1.38871646279114-π/2
    2.77743292558227-1.57079632675     		φ = 1.20663660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25329858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.512940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20663660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.135185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15063 KachelY 7559 -0.25329858 1.20663660 -14.512940 69.135185
    Oben rechts KachelX + 1 15064 KachelY 7559 -0.25310683 1.20663660 -14.501953 69.135185
    Unten links KachelX 15063 KachelY + 1 7560 -0.25329858 1.20656830 -14.512940 69.131271
    Unten rechts KachelX + 1 15064 KachelY + 1 7560 -0.25310683 1.20656830 -14.501953 69.131271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20663660-1.20656830) × R
    6.82999999999101e-05 × 6371000     		dl = 435.139299999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20663660-1.20656830) × R
    6.82999999999101e-05 × 6371000     		dr = 435.139299999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25329858--0.25310683) × cos(1.20663660) × R
    0.000191749999999991 × 0.356164249388887 × 6371000     		do = 435.104226500231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25329858--0.25310683) × cos(1.20656830) × R
    0.000191749999999991 × 0.356228069674021 × 6371000     		du = 435.182191865497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20663660)-sin(1.20656830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356164249388887-0.356228069674021)×R²
    abs(-0.25310683--0.25329858)×6.38202851339642e-05×R²
    0.000191749999999991×6.38202851339642e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.38202851339642e-05×40589641000000     		ar = 189347.91151739m²