Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15063 / 14982
↖ ↑ ↗
← S 81.537695°
E150.974121°		 ← 359.54 m → S 81.537695°
E150.996094°		 →
↑
359.45 m
↓
↑
359.45 m
↓
S 81.540928°
E150.974121°		 ← 359.40 m →
129 213 m²		 S 81.540928°
E150.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919403076171875 y=0.914459228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919403076171875 × 214)
    floor (0.919403076171875 × 16384)
    floor (15063.5)     		tx = 15063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914459228515625 × 214)
    floor (0.914459228515625 × 16384)
    floor (14982.5)     		ty = 14982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15063 / 14982 ti = "14/15063/14982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15063/14982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15063 ÷ 214
    15063 ÷ 16384     		x = 0.91937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14982 ÷ 214
    14982 ÷ 16384     		y = 0.9144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91937255859375 × 2 - 1) × π
    0.8387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63499550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60393238736145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63499550} λ = 2.63499550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60393238736145))-π/2
    2×atan(0.0739820792531265)-π/2
    2×0.0738475442352973-π/2
    0.147695088470595-1.57079632675     		φ = -1.42310124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63499550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.974121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42310124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.537695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15063 KachelY 14982 2.63499550 -1.42310124 150.974121 -81.537695
    Oben rechts KachelX + 1 15064 KachelY 14982 2.63537899 -1.42310124 150.996094 -81.537695
    Unten links KachelX 15063 KachelY + 1 14983 2.63499550 -1.42315766 150.974121 -81.540928
    Unten rechts KachelX + 1 15064 KachelY + 1 14983 2.63537899 -1.42315766 150.996094 -81.540928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42310124--1.42315766) × R
    5.6419999999946e-05 × 6371000     		dl = 359.451819999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42310124--1.42315766) × R
    5.6419999999946e-05 × 6371000     		dr = 359.451819999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63499550-2.63537899) × cos(-1.42310124) × R
    0.000383489999999931 × 0.147158706022985 × 6371000     		do = 359.540327032553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63499550-2.63537899) × cos(-1.42315766) × R
    0.000383489999999931 × 0.147102900039368 × 6371000     		du = 359.403981028011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42310124)-sin(-1.42315766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147158706022985-0.147102900039368)×R²
    abs(2.63537899-2.63499550)×5.58059836164859e-05×R²
    0.000383489999999931×5.58059836164859e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.58059836164859e-05×40589641000000     		ar = 129212.920040039m²